РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 589 Добавить в вариант

Сумма и произведение трех попарно взаимно простых чисел делятся на 11. Может ли их сумма квадратов также делиться на 11?

Спрятать решение

Решение.

Обозначим эти числа за x, y и z. Так как произведение чисел делится на 11, одно из чисел должно делиться на 11. Пусть это число x, тогда из условия взаимной простоты мы получаем, что ни y, ни z не делятся на 11. Далее,

$x в квадрате плюс y в квадрате плюс z в квадрате = левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка в квадрате минус 2 левая круглая скобка x y плюс x z плюс y z правая круглая скобка = левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка в квадрате минус 2 x левая круглая скобка y плюс z правая круглая скобка минус 2 y z.$ $x в квадрате плюс y в квадрате плюс z в квадрате = левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка в квадрате минус 2 левая круглая скобка x y плюс x z плюс y z правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка в квадрате минус 2 x левая круглая скобка y плюс z правая круглая скобка минус 2 y z.$

Число $левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка в квадрате минус 2 x левая круглая скобка y плюс z правая круглая скобка$ делится на 11, а $2 y z$ не делится, значит, и всё выражение не может делиться на 11.

Для участников, знакомы с техникой сравнения по модулю, можем предложить также такое решение: поскольку x и $x плюс y плюс z$ делятся на 11, $y \equiv минус z$ $левая круглая скобка \bmod 11 правая круглая скобка ,$ откуда $x в квадрате плюс y в квадрате плюс z в квадрате \equiv 2 y в квадрате$ $левая круглая скобка \bmod 11 правая круглая скобка .$ Значит, если сумма квадратов делится на 11, $2 y в квадрате$ также должно делиться на 11, а это неверно.

Ответ: нет.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Только ответ «Нет» — 0 баллов.

Утверждение о том, что делящееся на p (т. е. на 13, 11, 7 или 17, в зависимости от варианта) число единственно и обозначение его за отдельную букву — 0,5 балла.

Вывод того, что (в обозначениях авторского решения) yz или $2 y в квадрате$ делится на p (без указания на противоречие или то, что из этого немедленно следует решение задачи — маловероятно, но вдруг участник запутается). — ещё 1 балл, то есть всего 1,5 балла.

Несущественные алгебраические продвижения, например, доказательство того, что $y плюс z$ делится на p не оцениваются.

Аналоги к заданию № 546: 589 Все

Открытая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Алгебра. Суммы и произведения

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь