РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 546 Добавить в вариант

Сумма и произведение трех попарно взаимно простых чисел делятся на 13. Может ли их сумма квадратов также делиться на 13?

Спрятать решение

Решение.

Обозначим эти числа за x, y и z. Так как произведение чисел делится на 13, одно из чисел должно делиться на 13. Пусть это число x, тогда из условия взаимной простоты мы получаем, что ни y, ни z не делятся на 13. Далее,

$x в квадрате плюс y в квадрате плюс z в квадрате = левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка в квадрате минус 2 левая круглая скобка x y плюс x z плюс y z правая круглая скобка = левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка в квадрате минус 2 x левая круглая скобка y плюс z правая круглая скобка минус 2 y z.$ $x в квадрате плюс y в квадрате плюс z в квадрате = левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка в квадрате минус 2 левая круглая скобка x y плюс x z плюс y z правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка в квадрате минус 2 x левая круглая скобка y плюс z правая круглая скобка минус 2 y z.$

Число $левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка в квадрате минус 2 x левая круглая скобка y плюс z правая круглая скобка$ делится на 13, а 2yz не делится, значит, и всё выражение не может делиться на 13.

Для участников, знакомы с техникой сравнения по модулю, можем предложить также такое решение: поскольку x и $x плюс y плюс z$ делятся на 13, $y \equiv минус z$ $левая круглая скобка \bmod 13 правая круглая скобка ,$ откуда $x в квадрате плюс y в квадрате плюс z в квадрате \equiv$ $2 y в квадрате$ $левая круглая скобка \bmod 13 правая круглая скобка .$ Значит, если сумма квадратов делится на $13,2 y в квадрате$ также должно делиться на 13, а это неверно.

Ответ: нет.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Только ответ «Нет» — 0 баллов.

Утверждение о том, что делящееся на p (то есть на 13, 11, 7 или 17, в зависимости от варианта) число единственно и обозначение его за отдельную букву — 0,5 балла.

Вывод того, что (в обозначениях авторского решения) yz или 2y² делится на p (без указания на противоречие или то, что из этого немедленно следует решение задачи маловероятно, но вдруг участник запутается) — ещё 1 балл, то есть всего 1,5 балла.

Несущественные алгебраические продвижения, например, доказательство того, что y + z делится на p не оцениваются.

Аналоги к заданию № 546: 589 Все

Открытая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Алгебра. Суммы и произведения

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь