РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 564 Добавить в вариант

Сколькими способами можно расставить натуральные числа от 1 до 9 в квадратной таблице $3\times 3$ так, чтобы сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце была четна? (Числа могут повторяться)

Спрятать решение

Решение.

В каждой строке и каждом столбце таблицы может быть либо ноль, либо два нечётных числа, то есть либо одно, либо три чётных. Общее количество чётных чисел  — нечётное число от 3 до 9. Разберём несколько случаев:

1)  Всего три чётных числа, то есть по одному в каждой строке и каждом столбце. У нас $3 умножить на 2 умножить на 1=6$ способов выбрать, где стоят эти числа, $5 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка$ способов расставить нечётные числа и $4 в кубе$ способов расставить чётные.

2)  Пять чётных чисел, т. е. они занимают одну строку и один столбец. $3 умножить на 3=9$ способов выбрать эти строку и столбец, $5 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка$ способов расставить нечётные числа и $4 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка$ способов расставить чётные.

3)  Семи чётных чисел быть не может, так как это значит, что нечётных чисел всего два. Они не могут одновременно находиться в одной строке и одном столбце, а значит, какие-то суммы окажутся нечётными.

4)  Все числа чётные, в таком случае $4 в степени левая круглая скобка 9 правая круглая скобка$ способов. Итого

$6 умножить на 5 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка умножить на 4 в кубе плюс 9 умножить на 5 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 4 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка плюс 4 в степени левая круглая скобка 9 правая круглая скобка .$

Ответ: $6 умножить на 5 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка умножить на 4 в кубе плюс 9 умножить на 5 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 4 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка плюс 4 в степени левая круглая скобка 9 правая круглая скобка$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Вычислять ответ не требуется, достаточно правильной формулы со степенями. Утверждение о том, что общее количество N чётных/нечётных чисел (в зависимости от варианта) нечётно или что оно нечётно в каждой строке само по себе не оценивается. Баллы за авторское решение складываются из шести частей по 0,5 балла каждая

1) Утверждение о том, что $N больше 1$ и нечётно.

2) Доказано, что $N не равно q 7.$

3) Разобран случай $N=9,$ посчитано количество вариантов.

4) Верно описано расположение чётных/нечётных чисел при $N=5.$

5) Верно описано расположение чётных/нечётных чисел при $N=3.$

6) Верно записаны формулы для количества способов при $N=3$ и $N=5.$

Аналоги к заданию № 564: 594 Все

Открытая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Комбинаторика, вероятность, статистика. Размещения, перестановки и сочетания, Разное. Числовые таблицы

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь