РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 548 Добавить в вариант

Последовательность {a_n} задана условиями a₁  =  −1 и $a_n плюс 1=\sum\limits_k=1 в степени n левая круглая скобка a_k плюс 1 правая круглая скобка$ при $n\geqslant1.$ Найдите явную формулу этой последовательности.

Спрятать решение

Решение.

Вычитая друг из друга формулы для $a_n плюс 1$ и $a_n,$ получаем $a_n плюс 1 минус a_n=a_n плюс 1,$ то есть $a_n плюс 1=2 a_n плюс 1$ для $n больше 1 .$ Теперь докажем формулу $a_n=2 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка минус 1$ по индукции. База $n=2$ и, действительно,

$a_2=a_1 плюс 1=0=2 в степени левая круглая скобка 0 правая круглая скобка минус 1 .$

Далее воспользуемся полученной рекуррентной формулой и убедимся, что если $a_n=$ $2 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка минус 1,$ то

$a_n плюс 1=2 левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка плюс 1=2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка минус 1 .$

Ответ: $a_n=2 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка минус 1$ при $a больше 1,$ $a_1= минус 1.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Сформулирована и доказана рекуррентная формула — 1 балл.

Только ответ без обоснования — 0,5 балла.

В целях обеспечения равноценности вариантов, в случаях где a₁ не укладывается в общую формулу, не снимать баллы за отсутствие упоминания об этом в ответе.

Аналоги к заданию № 548: 591 Все

Открытая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Анализ. Последовательности

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь