Всего: 653 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
и 
В силу того, что 
выпукла вниз, а 
—
график 
Поэтому система имеет целочисленные решения только при целых 
(так как первое неравенство системы строгое, точки пересечения графиков не являются решениями системы). 
целочисленных точек с неотрицательными ординатами, лежащих под графиком 
целочисленных точек с неотрицательными ординатами, лежащих под графиком 
Так как на отрезке [7; 69] лежат 
целочисленные точки, то 
Имеем: 
искомые числа могут состоять из следующих цифр: a) три тройки, четыре пятёрки и одна единица или б) тройка, девятка, четыре пятёрки и две единицы. Вычислим количество вариантов в каждом случае. 
способов. Наконец, оставшиеся места занимают пятёрки. По правилу произведения выходит 
способов.
и 
где 
(или 
или 
— 2 балла.
или 
Далее возможны четыре случая.
Сфера с центром O вписана в трёхгранный угол с вершиной S и касается его граней в точках K, L, M (все плоские углы трёхгранного угла различны). Найдите угол KSO и площадь сечения данного трёхгранного угла плоскостью KLM, если известно, что площади сечений трёхгранного угла плоскостями, касающимися сферы и перпендикулярными прямой SO, равны 4 и 9.
SO — общая), следовательно, 
Высоты, опущенные из точек K, L, M на гипотенузу SO, равны, а их основания — одна и та же точка H, лежащая в плоскости KLM (назовём эту плоскость τ). Пусть β и 
касательные плоскости к сфере, проходящие через точки P 
и 
Рассмотрим сечение трехгранного угла и сферы плоскостью 
(см. рис. и обозначения на нем). Так как SH перпендикулярна HK и SH перпендикулярна HL, то τ и SH — перпендикулярны. Тогда сечения трёхгранного угла плоскостями 
и 
— площадь треугольника, получающегося в сечении трёхгранного угла плоскостью KLM, то из подобия 
и 
и 
отрицательны. Таким образом, уравнение принимает вид 
С учётом рассматриваемых ограничений подходит отрезок с концами в точках 
и 
Аналогично рассматриваем остальные три случая, и в итоге получаем границы квадрата K с вершинами в точках 
и 
Эта фигура не имеет пересечения с полуплоскостью 
поэтому можно считать, что 
С учётом указанного замечания второе уравнение можно записать в виде 
Если 
у Уравнения нет решений. При 
оно задаёт две точки (6; 8) и (6; −8). Поскольку обе они не принадлежат квадрату K, система не имеет решений, и значение 
уравнение принимает вид 
с центром в точке (6; 8) (или её часть, лежащую в полуплоскости 
если вся она в этой полуплоскости не помещается). Поскольку уравнение инвариантно относительно замены y на 
множество 
симметрично относительно оси Ox. Таким образом, 
график 
система уравнения имеет два решения — точки 
и 
Если 
дуга окружности 
пересекает отрезок AB дважды — эти две точки, а также им симметричные относительно оси Оx, образуют 4 различных решения системы. Если 
дуга окружности 
система уравнений имеет два решения — точки (0; 0) и (12; 0). Наконец, если 
дуга окружности 
не пересекает стороны квадрата K и система уравнений не имеет решений. Таким образом, система уравнений имеет ровно два решения только при 
и 
а) Две окружности одинакового радиуса 13 пересекаются в точках A и B. На первой окружности выбрана точка C, а на второй — точка D. Оказалось, что точка B лежит на отрезке CD, а 
На перпендикуляре к CD, проходящем через точку B, выбрана точка F так, что 
(точки A и F расположены по одну сторону от прямой CD). Найдите длину отрезка CF.
б) Пусть дополнительно известно, что 
Найдите площадь треугольника ACF.
— радиусы данных в условии окружностей, 
и 
Далее, углы ADC и ACD вписаны в равные окружности и опираются на одну и ту же хорду AB, поэтому они равны, и из прямоугольного треугольника CAD находим, что 
б) 
и 
В силу того, что 
график 
(так как первое неравенство системы строгое, точки пересечения графиков не являются решениями системы). 
На столе лежит кусочек сахара, вокруг которого по двум окружностям с одной и той же скоростью ползают муравей и жук. На плоскости стола введена прямоугольная система координат, в которой сахар (общий центр окружностей) находится в точке
и 
соответственно, где 
и β — углы, которые образуют радиус-векторы точек M и N с положительным направлением оси абсцисс. Заметим, что угол между 
и 
равен 
и при этом 
и 
— углы, соответствующие начальным расположениям насекомых. 
и 
равен нулю. 
—
то угловая скорость муравья в 2 раза больше угловой скорости жука. Пусть к моменту совпадения направления векторов 
Тогда 
Следовательно, 
Для 
получаем 
и 
Остальные точки получаются поворотом точки 
вокруг начала координат на углы 
и имеют, соответственно, координаты 
и 
то второе уравнение системы принимает вид 
и поэтому решений у системы нет. При всех остальных значениях параметров в каждом из уравнений хотя бы один из коэффициентов при переменных отличен от нуля. Следовательно, оба уравнения системы определяют некоторые прямые, и для существования бесконечного количества решений нужно, чтобы эти прямые совпадали. Это возможно при пропорциональности коэффициентов уравнений, то есть при 
то 
и 
то 
и 
задают одну и ту же прямую.
(тогда 
что не подходит по ОДЗ, так как подкоренное выражение отрицательно), либо 
Решаем последнее уравнение: 
и 
и из них неравенству удовлетворяют 
Это и есть ответ к задаче.
или 
с дискриминантом, равным 
Значит, корни 
равны 
то есть 
и 
а неравенство принимает вид 
совпадает со знаком разности квадратов 
искомые числа могут состоять из следующих цифр: а) три двойки, две пятёрки, одна семёрка и две единицы, б) четвёрка, двойка, две пятёрки, одна семёрка и три единицы или в) восьмёрка, две пятёрки, одна семёрка и четыре единицы. Вычислим количество вариантов в каждом случае. 
способов,
способа. Наконец, оставшиеся места занимают единицы. По правилу произведения выходит 
способов.Две окружности одинакового радиуса 9 пересекаются в точках A и B. На первой окружности выбрана точка C, а на второй – точка D. Оказалось, что точка B лежит на отрезке CD, а На перпендикуляре к CD, проходящем через точку B, выбрана точка F так, что (точки A и F расположены по одну сторону от прямой CD). Найдите длину отрезка CF.
— радиусы данных в условии окружностей, 
и 
Они делят плоскость на 4 части, и в каждой из этих частей знаки выражений под модулями постоянны. Чтобы их определить, можно выбрать в каждой из четырёх частей по точке и найти знаки посчитать знаки выражений в этих точках. Возьмём область, расположенную снизу от обеих прямых. В ней лежит, например, точка 
Подстановкой несложно убедиться, что в этой точке выражение 
положительно, а 
отрицательно. Таким образом, неравенство принимает вид 
С учётом рассматриваемых ограничений подходит область, лежащая выше прямой 
и ниже прямых 
Аналогично рассматриваем остальные три случая, и в итоге в точках 
и 
Вокруг птичьей кормушки в одной плоскости с ней по двум окружностям с одинаковой скоростью летают синица и снегирь. В указанной плоскости введена прямоугольная система координат, в которой кормушка (общий центр окружностей) находится в точке O(0; 0). Синица двигается по часовой стрелке, а снегирь — против. В начальный момент времени синица и снегирь находятся в точках 
и 
соответственно. Определите координаты всех положений снегиря, в которых расстояние между птицами будет кратчайшим.
и 
— углы, соответствующие начальным расположениям птиц. 
и 
— это радиусы окружностей, и 
Тогда 
Следовательно, 
Для 
и 
Остальные точки получаются поворотом точки 
и имеют, соответственно, координаты 
и 
Рассматривая первое равенство из 
получаем 
отсюда 
Далее подставим это во второе равенство (??): 
то 
то 
и 
задают одну и ту же прямую.
(тогда 
что не подходит по ОДЗ, так как подкоренное выражение отрицательно), либо 
и 
и из них неравенству удовлетворяют 
Это и есть ответ к задаче.
или 
с дискриминантом, равным 
то есть 
и 
искомые числа могут состоять из следующих цифр: a) три двойки, три пятёрки, одна семёрка и одна единица, б) четвёрка, двойка, три пятёрки, одна семёрка и две единицы или в) восьмёрка, три пятёрки, одна семёрка и три единицы. Вычислим количество вариантов в каждом случае. 
способа). Наконец, оставшиеся места занимают единицы. По правилу произведения выходит 
способов.