Всего: 653 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–140 …
Добавить в вариант
и 
Обозначим 
и 
Записываем и преобразуем неравенство: 
на области допустимых значений совпадает со знаком выражения 
в частности (при 
знак логарифма 
совпадает со знаком 
— 2 балла.
Окружность, центр которой лежит на прямой 
пересекает параболу 
хотя бы в трёх точках; одна из этих точек – начало координат, а две из оставшихся лежат на прямой 
Найдите все значения b, при которых описанная конфигурация возможна.
Обозначим начало координат через 
центр окружности через 
(так как он лежит на прямой 
и 
Пусть также 
— точка пересечения данной прямой с осью ординат, C — точка пересечения окружности с осью ординат, отличная 
как радиусы), QT — его высота, следовательно, QT также и медиана, 
поэтому точка C имеет координаты 
Опустим из точки A перпендикуляр AH на ось ординат. Тогда 
есть угол наклона прямой, его тангенс равен 
Отсюда 
и
и 
точек пересечения прямой 
и параболы 
определяются уравнением 
Значит, 
не подходит, так как при этом заданная прямая принимает вид 
то есть проходит через начало координат. 
(естественно, мы рассматриваем только те b, при которых прямая и парабола имеют две точки пересечения) оба числа 
является необходимым и достаточным условием того, что четыре точки A, B, C, O лежат на одной окружности.На рёбрах AC, BC, BS, AS правильной треугольной пирамиды SABC с вершиной S выбраны
точки K, L, M, N соответственно. Известно, что точки K, L, M, N лежат в одной плоскости, причём 
В четырёхугольнике KLMN расположены две окружности 
и 
причём окружность касается сторон KN, KL и LM, а окружность 
касается сторон KN, LM и MN. Прямые круговые конусы 
и 
с основаниями и соответственно расположены внутри данной пирамиды, причём вершина P конуса лежит на ребре AB, а вершина Q конуса лежит на
а) Найдите 
б) Найдите длину отрезка CQ.
и 
равны 1.
содержащей ребро 
и середину AB. Тогда и конусы 
и 
также симметричны относительно этой плоскости. Поэтому P — середина AB. 
—
Более того, XY и SC — параллельны, то есть треугольники PCS и PXY подобны. 
и 
Тогда 
и 
Поскольку 
из подобия получаем 
то есть 
перпендикулярна XY, причём 
откуда 
Значит, 
и из подобия имеем 
и 
Пусть 
и XY — перпендикулярны, то 
— прямоугольник, так что 
Отсюда 
б) 
Найдите отношение 
Значения A, B, C, D, a и b не заданы.
—
и 
если известно, что их не менее трёх.
откуда мгновенно следует, что 
Вводя дополнительный угол, можем преобразовать числитель дроби в левой части первого уравнения: 
может принимать значения 
Значит, 
может принимать по крайней мере 3 различных значения, все три полученных случая возможны. Замечание. Несложно убедиться в том, что все 3 случая реализуются. В первом случае получаем систему 
могут приниматься. 
или 
На столе лежат 140 различных карточек с числами
где 
то следующее за ним число есть 
— и оно даёт остаток 1 от деления на 3, далее идёт 
дающее остаток 2 от деления на 3, а затем 
которое снова делится на 3. Таким образом, остатки от деления данных чисел на 3 идут в порядке 
способов выбрать 3 числа из множества B и по 
способов выбрать 3 числа из множеств A и C. В сумме получаем 
берётся 
— 0 баллов за рассматриваемый случай.Окружности 
и 
касаются внешним образом в точке F, а их общая внешняя касательная касается окружностей и соответственно в точках A и B. Прямая l проходит через точку B, вторично пересекает окружность в точке C, а также пересекает в точках D и E (точка D расположена между C и E). Общая касательная окружностей, проходящая через точку F, пересекает прямые AB и BE в точках P и H соответственно (точка H лежит между точками P и F). Известно, что 
Найдите длину отрезка HP и радиусы обеих окружностей.
следовательно, 
Тогда по теореме косинусов для треугольника BPH получаем 
и 
Опуская из точки Q высоту QH на основание AO, получаем прямоугольный треугольник OHQ, в котором 
По теореме Пифагора получаем 
а из первого следует, что 
Решая эту систему уравнений, находим, что 
и 
Обозначим 
и 
Записываем и преобразуем неравенство: 
на области допустимых значений совпадает со знаком 
Окружность, центр которой лежит на прямой y = b, пересекает параболу 
хотя бы в трёх точках; одна из этих точек – начало координат, а две из оставшихся лежат на прямой 
Найдите все значения b, при которых описанная конфигурация возможна.
Пусть также 
Опустим из точки A перпендикуляр 
на ось ординат. Тогда 
Отсюда 
и
и параболы 
определяются уравнением 
Значит, 
Значение 
то есть проходит через начало координат. 
(сохраняем все обозначения первого случая). Тогда с одной стороны выходит, что точка T — середина хорды OC, т. е. лежит внутри окружности. С другой стороны, точки A и B лежат на окружности, поэтому AB является хордой этой окружности, а точка T лежит на продолжении хорды AB, то есть вне окружности. Получаем противоречие, и этот случай невозможен.На рёбрах AC, BC, BS, AS правильной треугольной пирамиды SABC с вершиной S выбраны точки K, L, M, N соответственно. Известно, что точки K, L, M, N лежат в одной плоскости, причём 
В четырёхугольнике KLMN расположены две окружности и причём окружность касается сторон KN, KL и LM, а окружность касается сторон KN, LM и MN. Прямые круговые конусы и с основаниями и соответственно расположены внутри данной пирамиды, причём вершина P конуса лежит на ребре AB, а вершина Q конуса лежит
а) Найдите
б) Найдите длину отрезка CQ.
из подобия получаем 
откуда 
Значит, 
и из подобия имеем 
и 
Пусть 
и 
— прямоугольник, так что 
Отсюда 
б) 
Найдите отношение 
Значения A, B, C, D, a и b не заданы.
и 
Система принимает вид 
Подставляя это во второе уравнение, получаем 
(и тогда 
или 
(и тогда 
то 
и 
либо 
и 
то 
либо 
и 
В прямоугольный треугольник ABC 
вписана окружность Γ с центром I, которая касается сторон AB и BC в точках K и L соответственно. Прямая, проходящая через точку I, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите радиус окружности Γ, если 
Найдите AC, если дополнительно известно, что прямая MN параллельна AC.
откуда 
Тогда 
На столе лежат 100 различных карточек с числами
— и оно даёт остаток 3 от деления на 5, далее — 
дающее остаток 1 от деления на 5, затем — 
дающее остаток 4 от деления на 5, затем 
дающее остаток 4 от деления на 5; наконец, следующим является 
которое снова делится на 5, после чего порядок остатков по чисел на 5 идут в порядке 
Всего карточек с такими числами 20, и нужно выбрать 2 них — есть 
способами. Дана равнобокая трапеция ABCD (AD и BC — параллельны, 
Окружность вписана в угол BAD, касается отрезка BC в точке C и повторно пересекает CD в точке E, так что 
Найдите радиус окружности и площадь
находим, что 
Тогда 
(касательные, проведённые к окружности из одной точки, равны), а в силу того, что трапеция равнобедренная, 
Отсюда получаем, что сумма оснований есть 
найдутся два решения, разность между которыми равна 4?
При 
это условие принимает вид 
т. е. его решением является единственное число 
а при 
оно задаёт отрезок между точками a и 1 на числовой прямой. Очевидно, что первый вариант не удовлетворяет условию задачи ввиду того, что неравенство имеет не более одного решения. Можно также отметить, что для того, чтобы нашлись 2 решения на расстоянии 4 друг от друга, ОДЗ должно быть отрезком длины не меньше 4, откуда 
или 
Исходное неравенство равносильно следующему: 
Тогда ОДЗ — это 
любое значение x из этого промежутка является решением неравенства, так как первый множитель в (*) положителен, а второй — неотрицателен. Следовательно, все значения параметра 
подходят (например, решениями неравенства являются числа 
Тогда ОДЗ — это 
Метод интервалов даёт 
В этом множестве присутствуют точки на расстоянии 4 друг от друга при 
(это точки 
и 
В итоге получаем 
Тогда неравенство принимает вид 
Тогда получаем 
Тогда 
Точки пересечения прямой и параболы можно определить из системы уравнений 
и 
и 
первое из них есть криволинейный треугольник BCD, где 
—
(его сторонами являются отрезки CD, BD и дуга параболы BC), а второе — область, ограниченная отрезком AC и дугой параболы AC (при этом все точки прямой AC не принадлежат множеству, а остальные граничные точки — принадлежат).
следует, что площадь фигуры 
ограниченной отрезком BC и дугой параболы BC, равна площади 
Но 
а площадь этого треугольника несложно найти: 
Найдите отношение 
и 
Система принимает вид 
Подставляя это во второе уравнение, получаем 
(и тогда 
или 
(и тогда 
то 
и 
либо 
и 
то 
либо 
и 
В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность Γ с центром I, которая касается сторон AB и BC в точках K и L соответственно. Прямая, проходящая через точку I, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите радиус окружности Γ, если 
Найдите AC, если дополнительно известно, что прямая MN параллельна AC.
откуда 
проведённая из B, равна 
и 
