сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Окруж­ность, центр ко­то­рой лежит на пря­мой y = b, пе­ре­се­ка­ет па­ра­бо­лу y = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби x в квад­ра­те хотя бы в трёх точ­ках; одна из этих точек – на­ча­ло ко­ор­ди­нат, а две из остав­ших­ся лежат на пря­мой y= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби x плюс b. Най­ди­те все зна­че­ния b, при ко­то­рых опи­сан­ная кон­фи­гу­ра­ция воз­мож­на.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим сна­ча­ла b боль­ше 0. Обо­зна­чим на­ча­ло ко­ор­ди­нат через O левая круг­лая скоб­ка 0; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка , центр окруж­но­сти через Q левая круг­лая скоб­ка a; b пра­вая круг­лая скоб­ка (так как он лежит на пря­мой y=b, его ор­ди­на­та равна b); точки пе­ре­се­че­ния пря­мой с па­ра­бо­лой через A левая круг­лая скоб­ка x_1; y_1 пра­вая круг­лая скоб­ка и B левая круг­лая скоб­ка x_2 ; y_2 пра­вая круг­лая скоб­ка  левая круг­лая скоб­ка x_1 мень­ше 0, x_2 боль­ше 0 пра­вая круг­лая скоб­ка . Пусть также T левая круг­лая скоб­ка 0; b пра­вая круг­лая скоб­ка   — точка пе­ре­се­че­ния дан­ной пря­мой с осью ор­ди­нат, C  — точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­сти с осью ор­ди­нат, от­лич­ная от O.

Тре­уголь­ник QOC рав­но­бед­рен­ный  левая круг­лая скоб­ка Q O=Q C как ра­ди­у­сы), QT  — его вы­со­та, сле­до­ва­тель­но, QT также и ме­ди­а­на, C T=O T, по­это­му точка C имеет ко­ор­ди­на­ты  левая круг­лая скоб­ка 0; 2 b пра­вая круг­лая скоб­ка . Опу­стим из точки A пер­пен­ди­ку­ляр A H на ось ор­ди­нат. Тогда \angle T A H есть угол на­кло­на пря­мой, его тан­генс равен  дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби . От­сю­да  ко­си­нус \angle T A H= дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби и

A T=A H: ко­си­нус \angle T A H= дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби A H= минус дробь: чис­ли­тель: 13 x_1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби .

Ана­ло­гич­но на­хо­дим, что B T= дробь: чис­ли­тель: 13 x_2, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби .

Пря­мые AB и OC  — две хорды дан­ной окруж­но­сти. По тео­ре­ме о пе­ре­се­ка­ю­щих­ся хор­дах*

C T умно­жить на O T=A T умно­жить на B T,

то есть

b умно­жить на b= минус дробь: чис­ли­тель: 13 x_1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 13 x_2, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби .

Абс­цис­сы x_1 и x_2 точек пе­ре­се­че­ния пря­мой y= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби x плюс b и па­ра­бо­лы y= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби x в квад­ра­те опре­де­ля­ют­ся урав­не­ни­ем

 дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби x в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби x плюс b рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус x минус дробь: чис­ли­тель: 12 b, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби =0 .

По тео­ре­ме па­ра­бо­лы y= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби x в квад­ра­те опре­де­ля­ют­ся урав­не­ни­ем

 дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби x в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби x плюс b рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус x минус дробь: чис­ли­тель: 12 b, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби =0 .

По тео­ре­ме Виета x_1 x_2= минус дробь: чис­ли­тель: 2 b, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . Зна­чит,

b в квад­ра­те = минус дробь: чис­ли­тель: 169, зна­ме­на­тель: 144 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 12 b, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но b в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 169 b, зна­ме­на­тель: 60 конец дроби ,

от­ку­да b= дробь: чис­ли­тель: 169, зна­ме­на­тель: 60 конец дроби . Зна­че­ние b=0 не под­хо­дит, так как при этом за­дан­ная пря­мая при­ни­ма­ет вид y= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби x, то есть про­хо­дит через на­ча­ло ко­ор­ди­нат.

При b мень­ше 0 (есте­ствен­но, мы рас­смат­ри­ва­ем толь­ко те b, при ко­то­рых пря­мая и па­ра­бо­ла имеют две точки пе­ре­се­че­ния) оба числа x_1 и x_2 по­ло­жи­тель­ны. Точка T яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка O C (со­хра­ня­ем все обо­зна­че­ния пер­во­го слу­чая). Тогда с одной сто­ро­ны вы­хо­дит, что точка T  — се­ре­ди­на хорды OC, т. е. лежит внут­ри окруж­но­сти. С дру­гой сто­ро­ны, точки A и B лежат на окруж­но­сти, по­это­му AB яв­ля­ет­ся хор­дой этой окруж­но­сти, а точка T лежит на про­дол­же­нии хорды AB, то есть вне окруж­но­сти. По­лу­ча­ем про­ти­во­ре­чие, и этот слу­чай не­воз­мо­жен.

 

Ответ: b= дробь: чис­ли­тель: 169, зна­ме­на­тель: 60 конец дроби .

 

*За­ме­тим, что для от­рез­ков AB и OC, пе­ре­се­ка­ю­щих­ся в точке T, усло­вие CT умно­жить на OT = AT умно­жить на BT яв­ля­ет­ся не­об­хо­ди­мым и до­ста­точ­ным усло­ви­ем того, что че­ты­ре точки A, B, C, O лежат на одной окруж­но­сти.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Со­став­ле­но урав­не­ние хотя бы од­но­го се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ляр­на — 1 балл.

За на­хож­де­ние ко­ор­ди­нат точек пе­ре­се­че­ния пря­мой и па­ра­бо­лы — баллы не до­бав­ля­ют­ся.


Аналоги к заданию № 870: 877 Все