сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Окруж­но­сти \omega и \Omega ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке F, а их общая внеш­няя ка­са­тель­ная ка­са­ет­ся окруж­но­стей \omega и \Omega со­от­вет­ствен­но в точ­ках A и B. Пря­мая l про­хо­дит через точку B, вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет окруж­ность \Omega в точке C, а также пе­ре­се­ка­ет \omega в точ­ках D и E (точка D рас­по­ло­же­на между C и E). Общая ка­са­тель­ная окруж­но­стей, про­хо­дя­щая через точку F, пе­ре­се­ка­ет пря­мые AB и BE в точ­ках P и H со­от­вет­ствен­но (точка F лежит между точ­ка­ми P и H). Из­вест­но, что BC= 42 и DH=HC=4. Най­ди­те длину от­рез­ка HP и ра­ди­у­сы обеих окруж­но­стей.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Три­жды при­ме­ня­ем тео­ре­му о ка­са­тель­ной и се­ку­щей:

H F в квад­ра­те =H C умно­жить на H B=4 умно­жить на 46 \Rightarrow H F=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 46 конец ар­гу­мен­та ;

H F в квад­ра­те =H D умно­жить на H E \Rightarrow H E= дробь: чис­ли­тель: H F в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: H D конец дроби =46;

B A в квад­ра­те =B D умно­жить на B E=50 умно­жить на 92 \Rightarrow B A=10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 46 конец ар­гу­мен­та .

По­сколь­ку от­рез­ки ка­са­тель­ных, про­ведённых к окруж­но­сти из одной точки, равны между собой, P F=P A=P B, сле­до­ва­тель­но,

P F= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби A B=5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 46 конец ар­гу­мен­та .

Итак,

P H=P F плюс F H=7 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 46 конец ар­гу­мен­та .

Пусть \angle B P H= гамма . Тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка BPH по­лу­ча­ем

B H в квад­ра­те =B P в квад­ра­те плюс H P в квад­ра­те минус 2 B P умно­жить на P H умно­жить на ко­си­нус гамма ,

то есть

46 в квад­ра­те =7 в квад­ра­те умно­жить на 46 плюс 5 в квад­ра­те умно­жить на 46 минус 70 умно­жить на 46 ко­си­нус гамма ,

от­ку­да

46=49 плюс 25 минус 70 ко­си­нус гамма ко­си­нус гамма = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Пусть O и Q  — цен­тры, а R и r  — ра­ди­у­сы окруж­но­стей \Omega и \omega со­от­вет­ствен­но; так как окруж­но­сти ка­са­ют­ся, точка ка­са­ния F лежит на линии цен­тров OQ, и при этом OQ и PH  — пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Углы A и F четырёхуголь­ни­ка AOFP пря­мые, по­это­му

\angle A O F=180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle A P F=\angle B P F= гамма .

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ную тра­пе­цию ABQO. В ней O Q=R плюс r, O A=R,  B Q=r,  A B=10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 46 конец ар­гу­мен­та и  \angle A O Q= гамма . Опус­кая из точки Q вы­со­ту QH на ос­но­ва­ние AO, по­лу­ча­ем пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник OHQ, в ко­то­ром Q H=A B=10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 46 конец ар­гу­мен­та и O H=R минус r . По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем

 левая круг­лая скоб­ка R плюс r пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка R минус r пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 46 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те ;

кроме того,

 дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби = ко­си­нус гамма = дробь: чис­ли­тель: R минус r, зна­ме­на­тель: R плюс r конец дроби .

Из по­след­не­го урав­не­ния по­лу­ча­ем R= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби r, а из пер­во­го сле­ду­ет, что R r=25 умно­жить на 46 . Решая эту си­сте­му урав­не­ний, на­хо­дим, что

R= дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 322 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби и r= дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 138 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

 

Ответ: HP=7 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 46 конец ар­гу­мен­та , r=5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 138, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби конец ар­гу­мен­та , R=5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 322, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Най­ден от­ре­зок HF — 1 балл.

Най­ден от­ре­зок AB — 1 балл.

Най­ден от­ре­зок HP — 1 балл.

Най­де­ны ра­ди­у­сы окруж­но­стей — 4 балла.


Аналоги к заданию № 868: 875 Все