Всего: 653 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
Две окружности одинакового радиуса 7 пересекаются в точках A и B. На первой окружности выбрана точка C, а на второй — точка D. Оказалось, что точка B лежит на отрезке CD, а 
На перпендикуляре к CD, проходящем через точку B, выбрана точка F так, что 
(точки A и F расположены по одну сторону от прямой CD). Найдите длину отрезка CF.
— радиусы данных в условии окружностей, 
и 
Тогда 
и 
и 
Они делят плоскость на 4 части, и в каждой из этих частей знаки выражений под модулями постоянны. Чтобы их определить, можно выбрать в каждой из четырёх частей по точке и найти знаки посчитать знаки выражений в этих точках. Возьмём область, расположенную снизу от обеих прямых. В ней лежит, например, точка 
Подстановкой несложно убедиться, что в этой точке выражение 
положительно, а 
отрицательно. Таким образом, неравенство принимает вид 
С учётом рассматриваемых ограничений подходит область, лежащая выше прямой 
и ниже прямых 
и 
(см. рисунок). 
и 
оно принимает вид 
и/ или y на (−y), множество точек, заданное уравнением системы, симметрично относительно обеих осей координат. Отражая полученную дугу относительно обеих осей координат и точки (0 ; 0), получаем искомое множество. Обратите внимание, что оно состоит из четырёх дуг окружностей и начала координат.
Найдите отношение 
Значения A, B, C, D, a и b не заданы.
—
и 
определены, причем 
и 
неотрицательны на области определения, оба неравенства системы выполняются 
а с учётом ОДЗ — при 
Если 
то у обоих неравенств левые и правые части неотрицательны, и их возведение в квадрат является равносильным преобразованием. Получаем 
получаем 
Объединяя результаты, окончательно находим, что 
Найдите первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если отношение суммы кубов всех её членов к сумме всех членов этой прогрессии равно 
а отношение суммы четвертых степеней членов к сумме квадратов членов этой прогрессии равно 
и знаменателем q равна 
Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии 
поэтому при n, стремящемся к бесконечности, 
стремится к нулю, а сумма членов стремится к 
также образуют геометрическую прогрессию с первым членом 
и знаменателем 
четвёртые степени членов — прогрессию с первым членом 
и знаменателем 
а квадраты — прогрессию с первым членом 
и знаменателем 
Суммы этих членов равны соответственно 
или 
Так как прогрессия является бесконечно убывающей, 
Дана равнобокая трапеция ABCD (AD и BC — параллельны, AD > BC). Окружность 
вписана в угол BAD, касается отрезка BC в точке C и повторно пересекает CD в точке E так, что 
Найдите радиус окружности и площадь трапеции ABCD.
Пусть 
Тогда 
(касательные, проведённые к окружности из одной точки, равны), а в силу того, что трапеция равнобедренная, 
Отсюда получаем, что сумма оснований есть 
На столе лежат 140 различных карточек с числами 3, 6, 9, ... 417, 420 (на каждой карточке написано ровно одно число, каждое число встречается ровно один раз). Сколькими способами можно выбрать 2 карточки так, чтобы сумма чисел на выбранных карточках делилась на 7?
делящееся на 7, и затем остатки повторяются. Таким образом, остатки от деления данных чисел на 7 идут в порядке 
способов
способами. 
берётся 
— 0 баллов за рассматриваемый результат.
Тогда неравенство принимает вид 
Тогда получаем 
Тогда 
(при этом неравенство не выполнено, так как дробь не определена). Числитель дроби обрушается в ноль при 
Точки пересечения прямой и параболы можно определить из системы уравнений 
и 
Второе неравенство выполняется: 
из первого неравенства, получаем, что множество М представляет собой совокупность двух множеств 
и 
первое из них есть криволинейный треугольник BCD, где 
и 
— это точки пересечения прямой 
с параболой и прямой \ell соответственно (его сторонами являются отрезки CD, BD и дуга параболы BC), а второе — область, ограниченная отрезком AC и дугой параболы AC (при этом все точки прямой AC не принадлежат множеству, а остальные граничные точки — принадлежат). 
следует, что площадь фигуры 
ограниченной отрезком BC и дугой параболы BC, равна площади 
Ho 
а площадь этого треугольника несложно найти: 
Окружности 
и касаются внешним образом в точке F, а их общая внешняя касательная касается окружностей и соответственно в точках A и B. Прямая l проходит через точку B, вторично пересекает окружность в точке C, а также 
Найдите длину отрезка HP и радиусы обеих окружностей.
следовательно, 
Тогда по теореме косинусов для треугольника BPH получаем 
а из первого следует, что 
Решая эту систему уравнений, находим, 
и 
определены, причем 
а с учётом ОДЗ — при 
Если 
то у обоих неравенств левые и правые части неотрицательны, и их возведение в квадрат является равносильным преобразованием. Получаем 
получаем 
Объединяя результаты, окончательно находим, что 
Известно, что отношение суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии к сумме кубов всех членов этой же прогрессии равно 
а отношение суммы четвёртых степеней всех членов к сумме квадратов всех членов этой прогрессии равно 
Найдите первый член и знаменатель указанной прогрессии.
или 
Так как прогрессия является бесконечно убывающей, 
Дана равнобокая трапеция ABCD (AD и BC — параллельны, 
Окружность вписана в угол BAD, касается отрезка BC в точке C и повторно пересекает CD в точке E так, что 
Найдите радиус окружности и площадь трапеции ABCD.
Пусть 
Тогда 
Отсюда получаем, что сумма оснований есть 
На столе лежат 210 различных карточек с числами
делящееся на 7, и затем остатки повторяются. Таким образом, остатки от деления данных чисел на 7 идут в порядке 
способами. На координатной плоскости рассматривается фигура M, состоящая из всех точек, координаты (x; y) которых удовлетворяют системе неравенств
Изобразите фигуру M и найдите её площадь.
Тогда неравенство принимает вид
Тогда получаем 
Тогда 
Перейдём ко второму неравенству. Знаменатель дроби в его левой части обрушается в ноль в точках, принадлежащих прямой 
(назовём её ℓ при этом неравенство не выполнено, так как дробь не определена). Числитель дроби обращается в ноль при 
Заметим, что парабола и прямая пересекают ось абсцисс в точках 
и 
соответственно. Точки пересечения прямой ℓ и параболы можно определить из системы уравнений 
и 
Второе неравенство выполняется: 
из первого неравенства, получаем, что множество М представляет собой совокупность двух множеств 
следует, что площадь фигуры 
Но 
Окружности и касаются внешним образом в точке F, а их общая внешняя касательная касается окружностей и соответственно в точках A и B. Прямая l проходит через точку B, вторично пересекает окружность в точке C, а также 
Найдите длину отрезка HP и радиусы обеих окружностей.
а из первого следует, что 
Решая эту систему уравнений, находим, 
Найдите отношение 
если известно, что их не менее трёх.
принимать значения 
Значит, 
или 
могут приниматься.На столе лежат 130 различных карточек с числами
дающее остаток 1 от деления на 3, а затем — 
которое снова делится на 3. Таким образом, остатки от деления данных чисел на 3 идут в 
способов выбрать 3 числа из множества A и 
Окружности и касаются внешним образом в точке F, а их общая внешняя касательная касается окружностей и соответственно в точках A и B. Прямая l проходит через точку B, вторично пересекает окружность в точке C, а также 
и 
Найдите длину отрезка HP и радиусы обеих окружностей.
Тогда по теореме косинусов для треугольника BPH получаем 
и 
Опуская из точки Q высоту QH на основание AO, получаем прямоугольный треугольник OHQ, в котором 
а из первого следует, что 
Решая эту систему уравнений, находим, что 
и 
