сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

На ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти рас­смат­ри­ва­ет­ся фи­гу­ра M, со­сто­я­щая из всех точек, ко­ор­ди­на­ты (x; y) ко­то­рых удо­вле­тво­ря­ют си­сте­ме не­ра­венств

 си­сте­ма вы­ра­же­ний \mid y \mid плюс \mid 4 минус y \mid мень­ше или равно 4, дробь: чис­ли­тель: y в квад­ра­те плюс x минус 4y плюс 1, зна­ме­на­тель: 2y плюс x минус 7 конец дроби мень­ше или равно 0. конец си­сте­мы .

Изоб­ра­зи­те фи­гу­ру M и най­ди­те её пло­щадь.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим пер­вое не­ра­вен­ство. Для рас­кры­тия мо­ду­лей рас­смат­ри­ва­ем три воз­мож­ных слу­чая.

1)  При y мень­ше 0 . Тогда не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид

 минус y плюс 4 минус y мень­ше или равно 4 рав­но­силь­но y боль­ше или равно 0 .

В этом слу­чае ре­ше­ний нет.

2)  При 0 мень­ше или равно y мень­ше или равно 4. Тогда по­лу­ча­ем

y плюс 4 минус y мень­ше или равно 4 рав­но­силь­но 0 мень­ше или равно 0,

что вы­пол­ня­ет­ся при всех зна­че­ни­ях y из рас­смат­ри­ва­е­мо­го про­ме­жут­ка.

3)  При y боль­ше 4 . Тогда

y минус 4 плюс y мень­ше или равно 4 рав­но­силь­но y мень­ше или равно 4,

то есть ре­ше­ний также нет.

Объ­еди­няя ре­зуль­та­ты, по­лу­ча­ем, что y при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 4 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Пе­рейдём ко вто­ро­му не­ра­вен­ству. Зна­ме­на­тель дроби в его левой части об­ру­ша­ет­ся в ноль в точ­ках, при­над­ле­жа­щих пря­мой x=7 минус 2 y (назовём её ℓ при этом не­ра­вен­ство не вы­пол­не­но, так как дробь не опре­де­ле­на). Чис­ли­тель дроби об­ра­ща­ет­ся в ноль при

x плюс y в квад­ра­те минус 4 y плюс 1=0 рав­но­силь­но x= минус левая круг­лая скоб­ка y минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 3 .

Это мно­же­ство точек есть па­ра­бо­ла с вет­вя­ми влево и вер­ши­ной в точке C левая круг­лая скоб­ка 3; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка . За­ме­тим, что па­ра­бо­ла и пря­мая пе­ре­се­ка­ют ось абс­цисс в точ­ках B левая круг­лая скоб­ка минус 1; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка и D левая круг­лая скоб­ка 7; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка со­от­вет­ствен­но. Точки пе­ре­се­че­ния пря­мой ℓ и па­ра­бо­лы можно опре­де­лить из си­сте­мы урав­не­ний

 си­сте­ма вы­ра­же­ний x=7 минус 2 y, x= минус y в квад­ра­те плюс 4 y минус 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x=7 минус 2 y, y в квад­ра­те минус 6 y плюс 8=0 . конец си­сте­мы .

От­сю­да вы­хо­дят две точки  — A левая круг­лая скоб­ка минус 1; 4 пра­вая круг­лая скоб­ка и C левая круг­лая скоб­ка 3; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка . Вто­рое не­ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся:

а)  в точ­ках па­ра­бо­лы (кроме точек A и C);

б)  в точ­ках спра­ва от па­ра­бо­лы и выше пря­мой (при этом и чис­ли­тель, и зна­ме­на­тель дроби по­ло­жи­тель­ны);

в)  в точ­ках слева от па­ра­бо­лы и ниже пря­мой (и чис­ли­тель, и зна­ме­на­тель дроби от­ри­ца­тель­ны).

Учи­ты­вая также огра­ни­че­ние y при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 4; 0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка из пер­во­го не­ра­вен­ства, по­лу­ча­ем, что мно­же­ство М пред­став­ля­ет собой со­во­куп­ность двух мно­жеств M_1 и M_2 ; пер­вое из них есть кри­во­ли­ней­ный тре­уголь­ник BCD (его сто­ро­на­ми яв­ля­ют­ся от­рез­ки CD, BD и дуга па­ра­бо­лы BC), а вто­рое  — об­ласть, огра­ни­чен­ная от­рез­ком AC и дугой па­ра­бо­лы AC (при этом все точки пря­мой AC не при­над­ле­жат мно­же­ству, а осталь­ные гра­нич­ные точки  — при­над­ле­жат).

Из сим­мет­рии па­ра­бо­лы от­но­си­тель­но своей оси (т. е. пря­мой y=2 пра­вая круг­лая скоб­ка сле­ду­ет, что пло­щадь фи­гу­ры M_3, огра­ни­чен­ной от­рез­ком BC и дугой па­ра­бо­лы BC, равна пло­ща­ди M_2 . Но M_1 \cup M_3=\Delta B C D, а пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка не­слож­но найти:

S_\triangle B C D= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 8 умно­жить на 2=8 .

Ответ: 8.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

По­стро­е­но мно­же­ство точек — 4 балла.

Если при этом не­вер­но учте­на гра­ни­ца мно­же­ства (т. е. либо не ис­клю­че­ны участ­ки гра­ни­цы, на ко­то­рых зна­ме­на­тель об­ра­ща­ет­ся в 0, либо ис­клю­че­ны участ­ки гра­ни­цы, в ко­то­рых чис­ли­тель равен нулю, а зна­ме­на­тель от­ли­чен от нуля, либо не­воз­мож­но по­нять, какие из гра­ниц при­над­ле­жат мно­же­ству) — снять 1 балл.

Най­де­на пло­щадь фи­гу­ры — 2 балла (эти баллы ста­вят­ся толь­ко в том слу­чае, если мно­же­ство точек по­стро­е­но верно или от­ли­ча­ет­ся от вер­но­го лишь не­ко­то­рым ко­ли­че­ством гра­нич­ных точек).

За не­пол­ное по­стро­е­ние мно­же­ства воз­мож­ны ча­стич­ные баллы:

а) опре­де­ле­но мно­же­ство ре­ше­ний пер­во­го не­ра­вен­ства — 1 балл;

б) по­стро­е­ны мно­же­ства точек, в ко­то­рых чис­ли­тель и зна­ме­на­тель дроби вто­ро­го не­ра­вен­ства об­ра­ща­ют­ся в ноль — 1 балл;

в) опре­де­ле­ны об­ла­сти плос­ко­сти, удо­вле­тво­ря­ю­щие вто­ро­му не­ра­вен­ству — 1 балл (этот балл сум­ми­ру­ет­ся с преды­ду­щим).


Аналоги к заданию № 856: 863 Все