РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 864 Добавить в вариант

Олимпиада школьников Физтех, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности касающиеся, Методы геометрии. Свойства хорд, касательных, секущих, Методы геометрии. Теорема косинусов

Окружности $\omega$ и $\Omega$ касаются внешним образом в точке F, а их общая внешняя касательная касается окружностей $\omega$ и $\Omega$ соответственно в точках A и B. Прямая l проходит через точку B, вторично пересекает окружность $\Omega$ в точке C, а также пересекает $\omega$ в точках D и E (точка D расположена между C и E). Общая касательная окружностей, проходящая через точку F, пересекает прямые AB и BE в точках P и H соответственно (точка H лежит между точками P и F). Известно, что $BC= 18,$ $DH =HC = 3.$ Найдите длину отрезка HP и радиусы обеих окружностей.

Решение.

Трижды применяем теорему о касательной и секущей:

$H F в квадрате =H D умножить на H E=3 умножить на 21 \Rightarrow H F=3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента ;$

$H F в квадрате =H C умножить на H B \Rightarrow H B= дробь: числитель: H F в квадрате , знаменатель: H C конец дроби =21 ;$

$B A в квадрате =B D умножить на B E=24 умножить на 42 \Rightarrow B A=12 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$

Поскольку отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны между собой, $P F=P A=P B,$ следовательно,

$P F= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби A B=6 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$

Итак,

$P H=P F минус F H=3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$

Пусть $\angle B P H= гамма .$ Тогда по теореме косинусов для треугольника BPH получаем

$B H в квадрате =B P в квадрате плюс H P в квадрате минус 2 B P умножить на P H умножить на косинус гамма ,$

то есть

$21 в квадрате =36 умножить на 7 плюс 9 умножить на 7 минус 2 умножить на 3 умножить на 6 умножить на 7 косинус гамма ,$

откуда

$7=4 плюс 1 минус 4 косинус гамма равносильно косинус гамма = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Пусть O и Q  — центры, а R и r  — радиусы окружностей $\Omega$ и $\omega$ соответственно; так как окружности касаются, точка касания F лежит на линии центров OQ, и при этом OQ и PH  — перпендикулярны. Углы B и F четырёхугольника OBPF прямые, поэтому

$\angle B O F=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle B P F=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус гамма .$

Рассмотрим прямоугольную трапецию ABOQ. В ней

$O Q=R плюс r,$ $\quad O B=R,$ $\quad A Q=r,$

$A B=12 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента ,$ $\quad \angle B O Q=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус гамма .$

Опуская из точки Q высоту QH на основание BO, получаем прямоугольный треугольник OHQ, в котором

$Q H=A B=12 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , O H=R минус r .$

По теореме Пифагора получаем

$левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка R минус r правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 12 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате ;$

кроме того,

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = косинус левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус гамма правая круглая скобка = дробь: числитель: R минус r, знаменатель: R плюс r конец дроби .$

Из последнего уравнения получаем $R=3 r,$ а из первого следует, что $R r=252 .$ Решая эту систему уравнений, находим, что $R=6 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента$ и $r=2 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента .$

Ответ: $HP=3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента ,$ $r=2 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента ,$ $R=6 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента .$

Критерии проверки:

Найден отрезок HF —1 балл.

Найден отрезок AB — 1 балл.

Найден отрезок HP — 1 балл.

Найдены радиусы окружностей — 4 балл.

Аналоги к заданию № 857: 864 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе