Найдите первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если отношение суммы кубов всех её членов к сумме всех членов этой прогрессии равно 
а отношение суммы четвертых степеней членов к сумме квадратов членов этой прогрессии равно 
Известно, что сумма первых n членов геометрической прогрессии с первым членом 
и знаменателем q равна 
Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии 
поэтому при n, стремящемся к бесконечности, 
стремится к нулю, а сумма членов стремится к 
Кубы членов данной прогрессии 
также образуют геометрическую прогрессию с первым членом 
и знаменателем 
четвёртые степени членов — прогрессию с первым членом 
и знаменателем 
а квадраты — прогрессию с первым членом 
и знаменателем 
Суммы этих членов равны соответственно
Из условия получаем систему уравнений
Делим почленно первое уравнение на второе и получаем
откуда 
или 
Так как прогрессия является бесконечно убывающей, и подходит только значение Тогда
и 
Ответ: 
