РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 836 Добавить в вариант

Найдите количество пар целых чисел (x, y), удовлетворяющих системе неравенств

$система выражений y больше 3 в степени x плюс 4 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 81 правая круглая скобка ,y меньше или равно 85 плюс левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 81 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка x конец системы .$

Ответ должен быть представлен в виде алгебраической суммы не более двух слагаемых.

Спрятать решение

Решение.

Пусть $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 4 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 81 правая круглая скобка$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =85 плюс левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 81 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка x .$ В силу того, что $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ выпукла вниз, а $g левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — линейная, графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка$ могут иметь не более двух общих точек. Координаты обеих точек легко подобрать. Действительно,

$f левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =3 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 4 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 81 правая круглая скобка =85 плюс левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 81 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка 4=g левая круглая скобка 4 правая круглая скобка ,$

$f левая круглая скобка 85 правая круглая скобка =3 в степени левая круглая скобка 85 правая круглая скобка плюс 4 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 81 правая круглая скобка =81 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 81 правая круглая скобка плюс 4 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 81 правая круглая скобка =85 плюс левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 81 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка 85=g левая круглая скобка 85 правая круглая скобка .$

На промежутке $4 меньше x меньше 85$ график $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ лежит ниже графика $g левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Поэтому система имеет целочисленные решения только при целых $x принадлежит левая квадратная скобка 5; 84 правая квадратная скобка$ (так как первое неравенство системы строгое, точки пересечения графиков не являются решениями системы).

Заметим, что на отрезке [5; 84] графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка$ лежат выше оси Оx. Поэтому искомое количество целочисленных точек мы получим, если из количества $S_1$ целочисленных точек с неотрицательными ординатами, лежащих под графиком $g левая круглая скобка x правая круглая скобка$ на отрезке [5; 84], вычтем количество $S_2$ целочисленных точек с неотрицательными ординатами, лежащих под графиком $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ на отрезке [5; 84]. При этом мы учтём, что второе неравенство системы строгое, а первое  — нет.

Найдём $S_1.$ Так как на отрезке [5; 84] лежат $69 минус 7 плюс 1=63$ целочисленные точки, то

$S_1=80 умножить на 85 плюс левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 81 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 плюс 6 плюс \ldots плюс 84 правая круглая скобка =80 умножить на 85 плюс левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 81 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка умножить на 40 умножить на 89=3240 плюс 3 в степени левая круглая скобка 81 правая круглая скобка умножить на 3560 .$

Найдём $S_2.$ Имеем:

$S_2= левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка плюс 4 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 81 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка плюс 4 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 81 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс \ldots плюс левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 84 правая круглая скобка плюс 4 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 81 правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$=3 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 3 в степени левая круглая скобка 84 правая круглая скобка плюс 4 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 81 правая круглая скобка умножить на 80=3 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка 80 правая круглая скобка минус 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс 320 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 81 правая круглая скобка = дробь: числитель: 721 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 81 правая круглая скобка минус 243, знаменатель: 2 конец дроби .$

Искомое количество равно

$S_1 минус S_2=3240 плюс 3 в степени левая круглая скобка 81 правая круглая скобка умножить на 3560 минус дробь: числитель: 721 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 81 правая круглая скобка минус 243, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 6399 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 81 правая круглая скобка плюс 6723, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 79 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 85 правая круглая скобка плюс 6723, знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 79 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 85 правая круглая скобка плюс 6723, знаменатель: 2 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Найдены координаты точек пересечения графиков — 2 балла (по одному баллу за каждую точку).

Выпуклость вниз графика показательной функции и количество точек пересечения графиков обосновывать не обязательно.

Количество точек посчитано, но результат не представлен в требуемом виде — 2 балла.

При подсчёте неверно учтены граничные точки — снять 1 балл.

Аналоги к заданию № 829: 836 Все

Олимпиада школьников Физтех, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Системы неравенств, Методы алгебры. Косвенные методы в уравнения и неравенствах, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь