сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Най­ди­те ко­ли­че­ство пар целых чисел (x, y), удо­вле­тво­ря­ю­щих си­сте­ме не­ра­венств

си­сте­ма вы­ра­же­ний y боль­ше 2 в сте­пе­ни x плюс 3 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 65 пра­вая круг­лая скоб­ка ,y мень­ше или равно 70 плюс левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 64 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x. конец си­сте­мы .

Ответ дол­жен быть пред­став­лен в виде ал­геб­ра­и­че­ской суммы не более двух сла­га­е­мых.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 65 пра­вая круг­лая скоб­ка и g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =70 плюс левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 64 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x . В силу того, что f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка вы­пук­ла вниз, а g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка   — ли­ней­ная, гра­фи­ки функ­ций f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка и g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка могут иметь не более двух общих точек. Ко­ор­ди­на­ты обеих точек легко по­до­брать. Дей­стви­тель­но,

f левая круг­лая скоб­ка 6 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 6 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 65 пра­вая круг­лая скоб­ка =64 плюс 6 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 64 пра­вая круг­лая скоб­ка =70 плюс левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 64 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка 6=g левая круг­лая скоб­ка 6 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

f левая круг­лая скоб­ка 70 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 70 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 65 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 6 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 64 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 6 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 64 пра­вая круг­лая скоб­ка =70 плюс левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 64 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка 70=g левая круг­лая скоб­ка 70 пра­вая круг­лая скоб­ка .

На про­ме­жут­ке 6 мень­ше x мень­ше 70 гра­фик f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка лежит ниже гра­фи­ка g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка . По­это­му си­сте­ма имеет це­ло­чис­лен­ные ре­ше­ния толь­ко при целых x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 7; 69 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка (так как пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы стро­гое, точки пе­ре­се­че­ния гра­фи­ков не яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­я­ми си­сте­мы).

За­ме­тим, что на от­рез­ке [7; 69] гра­фи­ки функ­ций f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка и g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка лежат выше оси Оx. По­это­му ис­ко­мое ко­ли­че­ство це­ло­чис­лен­ных точек мы по­лу­чим, если из ко­ли­че­ства S_1 це­ло­чис­лен­ных точек с не­от­ри­ца­тель­ны­ми ор­ди­на­та­ми, ле­жа­щих под гра­фи­ком g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка на от­рез­ке [7; 69], вы­чтем ко­ли­че­ство S_2 це­ло­чис­лен­ных точек с не­от­ри­ца­тель­ны­ми ор­ди­на­та­ми, ле­жа­щих под гра­фи­ком f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка на от­рез­ке [7; 69]. При этом мы учтём, что пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы стро­гое, а вто­рое  — нет.

Найдём S_1. Так как на от­рез­ке [7; 69] лежат 69 минус 7 плюс 1=63 це­ло­чис­лен­ные точки, то

S_1=70 умно­жить на 63 плюс левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 64 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 7 плюс 8 плюс \ldots плюс 69 пра­вая круг­лая скоб­ка =70 умно­жить на 63 плюс левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 64 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 38 умно­жить на 63=32 умно­жить на 63 плюс 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 64 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 38 умно­жить на 63=2016 плюс 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 65 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 1197.

Найдём S_2. Имеем:

S_2= левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 7 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 65 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 8 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 65 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка плюс \ldots плюс левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 69 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 65 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 7 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 8 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс \ldots плюс 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 69 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 65 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 63=
=2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 70 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 7 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 65 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 63=2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 5 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 65 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 128 плюс 189 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 65 пра­вая круг­лая скоб­ка =221 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 65 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 128.

Ис­ко­мое ко­ли­че­ство равно

S_1 минус S_2=2016 плюс 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 65 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 1197 минус левая круг­лая скоб­ка 221 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 65 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 128 пра­вая круг­лая скоб­ка =2144 плюс левая круг­лая скоб­ка 1197 минус 221 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 65 пра­вая круг­лая скоб­ка =2144 плюс 976 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 65 пра­вая круг­лая скоб­ка =2144 плюс 61 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 69 пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: 61 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 69 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2144.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Най­де­ны ко­ор­ди­на­ты точек пе­ре­се­че­ния гра­фи­ков — 2 балла (по од­но­му баллу за каж­дую точку).

Вы­пук­лость вниз гра­фи­ка по­ка­за­тель­ной функ­ции и ко­ли­че­ство точек пе­ре­се­че­ния гра­фи­ков обос­но­вы­вать не обя­за­тель­но.

Ко­ли­че­ство точек по­счи­та­но, но ре­зуль­тат не пред­став­лен в тре­бу­е­мом виде — 2 балла.

При подсчёте не­вер­но учте­ны гра­нич­ные точки — снять 1 балл.


Аналоги к заданию № 829: 836 Все

Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024