РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 829 Добавить в вариант

Найдите количество пар целых чисел (x, y), удовлетворяющих системе неравенств

$система выражений y больше 2 в степени x плюс 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка ,y меньше или равно 70 плюс левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 64 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка x. конец системы .$

Ответ должен быть представлен в виде алгебраической суммы не более двух слагаемых.

Спрятать решение

Решение.

Пусть $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =70 плюс левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 64 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка x .$ В силу того, что $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ выпукла вниз, а $g левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — линейная, графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка$ могут иметь не более двух общих точек. Координаты обеих точек легко подобрать. Действительно,

$f левая круглая скобка 6 правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка плюс 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка =64 плюс 6 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 64 правая круглая скобка =70 плюс левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 64 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка 6=g левая круглая скобка 6 правая круглая скобка ,$

$f левая круглая скобка 70 правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка 70 правая круглая скобка плюс 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка 64 правая круглая скобка плюс 6 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 64 правая круглая скобка =70 плюс левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 64 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка 70=g левая круглая скобка 70 правая круглая скобка .$

На промежутке $6 меньше x меньше 70$ график $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ лежит ниже графика $g левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Поэтому система имеет целочисленные решения только при целых $x принадлежит левая квадратная скобка 7; 69 правая квадратная скобка$ (так как первое неравенство системы строгое, точки пересечения графиков не являются решениями системы).

Заметим, что на отрезке [7; 69] графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка$ лежат выше оси Оx. Поэтому искомое количество целочисленных точек мы получим, если из количества $S_1$ целочисленных точек с неотрицательными ординатами, лежащих под графиком $g левая круглая скобка x правая круглая скобка$ на отрезке [7; 69], вычтем количество $S_2$ целочисленных точек с неотрицательными ординатами, лежащих под графиком $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ на отрезке [7; 69]. При этом мы учтём, что первое неравенство системы строгое, а второе  — нет.

Найдём $S_1.$ Так как на отрезке [7; 69] лежат $69 минус 7 плюс 1=63$ целочисленные точки, то

$S_1=70 умножить на 63 плюс левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 64 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 7 плюс 8 плюс \ldots плюс 69 правая круглая скобка =70 умножить на 63 плюс левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 64 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка умножить на 38 умножить на 63=$
$=32 умножить на 63 плюс 2 в степени левая круглая скобка 64 правая круглая скобка умножить на 38 умножить на 63=2016 плюс 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка умножить на 1197.$ $S_1=70 умножить на 63 плюс левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 64 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 7 плюс 8 плюс \ldots плюс 69 правая круглая скобка =$
$=70 умножить на 63 плюс левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 64 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка умножить на 38 умножить на 63=$
$=32 умножить на 63 плюс 2 в степени левая круглая скобка 64 правая круглая скобка умножить на 38 умножить на 63=2016 плюс 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка умножить на 1197.$

Найдём $S_2.$ Имеем:

$S_2= левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 7 правая круглая скобка плюс 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка плюс 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс \ldots плюс левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 69 правая круглая скобка плюс 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка 7 правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 2 в степени левая круглая скобка 69 правая круглая скобка плюс 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка умножить на 63=$
$=2 в степени левая круглая скобка 70 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка 7 правая круглая скобка плюс 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка умножить на 63=2 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка минус 128 плюс 189 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка =221 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка минус 128.$ $S_2= левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 7 правая круглая скобка плюс 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка плюс 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс \ldots плюс левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 69 правая круглая скобка плюс 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$=2 в степени левая круглая скобка 7 правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 2 в степени левая круглая скобка 69 правая круглая скобка плюс 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка умножить на 63=2 в степени левая круглая скобка 70 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка 7 правая круглая скобка плюс 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка умножить на 63=$
$=2 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка минус 128 плюс 189 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка =221 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка минус 128.$ $S_2=$
$= левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 7 правая круглая скобка плюс 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка плюс 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс \ldots плюс левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 69 правая круглая скобка плюс 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$=2 в степени левая круглая скобка 7 правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 2 в степени левая круглая скобка 69 правая круглая скобка плюс 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка умножить на 63=$
$=2 в степени левая круглая скобка 70 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка 7 правая круглая скобка плюс 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка умножить на 63=$
$=2 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка минус 128 плюс 189 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка =221 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка минус 128.$

Искомое количество равно

$S_1 минус S_2=2016 плюс 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка умножить на 1197 минус левая круглая скобка 221 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка минус 128 правая круглая скобка =$
$=2144 плюс левая круглая скобка 1197 минус 221 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка =2144 плюс 976 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка =2144 плюс 61 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 69 правая круглая скобка .$ $S_1 минус S_2=2016 плюс 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка умножить на 1197 минус левая круглая скобка 221 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка минус 128 правая круглая скобка =$
$=2144 плюс левая круглая скобка 1197 минус 221 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка =$
$=2144 плюс 976 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 65 правая круглая скобка =2144 плюс 61 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 69 правая круглая скобка .$

Ответ: $61 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 69 правая круглая скобка плюс 2144.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Найдены координаты точек пересечения графиков — 2 балла (по одному баллу за каждую точку).

Выпуклость вниз графика показательной функции и количество точек пересечения графиков обосновывать не обязательно.

Количество точек посчитано, но результат не представлен в требуемом виде — 2 балла.

При подсчёте неверно учтены граничные точки — снять 1 балл.

Аналоги к заданию № 829: 836 Все

Олимпиада школьников Физтех, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Системы неравенств, Методы алгебры. Косвенные методы в уравнения и неравенствах, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь