сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых си­сте­ма

 си­сте­ма вы­ра­же­ний \mid y минус 3 минус x \mid плюс \mid y минус 3 плюс x\mid=6, левая круг­лая скоб­ка \mid x\mid минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка \mid y\mid минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =a. конец си­сте­мы .

имеет ровно два ре­ше­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим пер­вое урав­не­ние си­сте­мы и изоб­ра­зим мно­же­ство его ре­ше­ний на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти. Для рас­кры­тия мо­ду­лей найдём мно­же­ства точек, в ко­то­рых вы­ра­же­ния под мо­ду­ля­ми об­ра­ща­ют­ся в ноль. Это пря­мые y минус 3 минус x=0 и y минус 3 плюс x=0 . Они делят плос­кость на 4 части, и в каж­дой из этих ча­стей знаки вы­ра­же­ний под мо­ду­ля­ми по­сто­ян­ны. Чтобы их опре­де­лить, можно вы­брать в каж­дой из четырёх ча­стей по точке и найти знаки вы­ра­же­ний в этих точ­ках. Возьмём об­ласть, рас­по­ло­жен­ную снизу от обеих пря­мых. В ней лежит, на­при­мер, точка  левая круг­лая скоб­ка 0; минус 10 пра­вая круг­лая скоб­ка . Под­ста­нов­кой не­слож­но убе­дить­ся, что в этой точке оба вы­ра­же­ния y минус 3 минус x и y минус 3 плюс x от­ри­ца­тель­ны. Таким об­ра­зом, урав­не­ние при­ни­ма­ет вид

 минус левая круг­лая скоб­ка y минус 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка y минус 3 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка =6 рав­но­силь­но y=0 .

С учётом рас­смат­ри­ва­е­мых огра­ни­че­ний под­хо­дит от­ре­зок с кон­ца­ми в точ­ках A левая круг­лая скоб­ка 3; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка и D левая круг­лая скоб­ка минус 3; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка . Ана­ло­гич­но рас­смат­ри­ва­ем осталь­ные три слу­чая, и в итоге по­лу­ча­ем гра­ни­цы квад­ра­та K с вер­ши­на­ми в точ­ках A левая круг­лая скоб­ка 3; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка , B левая круг­лая скоб­ка 3; 6 пра­вая круг­лая скоб­ка , C левая круг­лая скоб­ка минус 3; 6 пра­вая круг­лая скоб­ка и D левая круг­лая скоб­ка минус 3; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка . Эта фи­гу­ра не имеет пе­ре­се­че­ния с по­лу­плос­ко­стью y мень­ше 0, по­это­му можно счи­тать, что y боль­ше или равно 0. С учётом ука­зан­но­го за­ме­ча­ния вто­рое урав­не­ние можно за­пи­сать в виде

 левая круг­лая скоб­ка |x| минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =a

(опу­стив мо­дуль у пе­ре­мен­ной y). Обо­зна­чим мно­же­ство точек, опре­де­ля­е­мых этим урав­не­ни­ем, через \Phi левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка . Если a мень­ше 0, у урав­не­ния нет ре­ше­ний. При a=0 оно задаёт две точки (4; 3) и (−4; 3). По­сколь­ку обе они не при­над­ле­жат квад­ра­ту K, си­сте­ма не имеет ре­ше­ний, и зна­че­ние a=0 не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи. Пе­рейдём к слу­чаю a боль­ше 0.

При x боль­ше или равно 0 урав­не­ние при­ни­ма­ет вид

 левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =a,

и мы по­лу­ча­ем окруж­ность ра­ди­у­са  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a конец ар­гу­мен­та с цен­тром в точке (4; 3) (или её часть, ле­жа­щую в по­лу­плос­ко­сти x боль­ше или равно 0, если вся она в этой по­лу­плос­ко­сти не по­ме­ща­ет­ся). По­сколь­ку урав­не­ние ин­ва­ри­ант­но от­но­си­тель­но за­ме­ны x на  левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка , мно­же­ство \Phi левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка сим­мет­рич­но от­но­си­тель­но оси Oy. Таким об­ра­зом, \Phi левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка есть со­во­куп­ность по­лу­чен­ной выше окруж­но­сти (или её части) и окруж­но­сти, по­лу­ча­ю­щей­ся из уже по­стро­ен­ной от­ра­же­ни­ем от­но­си­тель­но оси Oy.

Если 0 мень­ше a мень­ше 1, гра­фик

 левая круг­лая скоб­ка |x| минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =a

не пе­ре­се­ка­ет квад­рат K, и си­сте­ма урав­не­ний не имеет ре­ше­ний. Если a=1, си­сте­ма урав­не­ния имеет два ре­ше­ния  — точки X левая круг­лая скоб­ка 3; 3 пра­вая круг­лая скоб­ка и Y левая круг­лая скоб­ка минус 3; 3 пра­вая круг­лая скоб­ка . Если a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 1; 10 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , дуга окруж­но­сти

 левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =a

и x боль­ше или равно 0 пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок AB два­жды эти две точки, а также им сим­мет­рич­ные от­но­си­тель­но оси Оу, об­ра­зу­ют 4 раз­лич­ных ре­ше­ния си­сте­мы. Если a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 10; 25 пра­вая круг­лая скоб­ка , дуга окруж­но­сти

 левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =a

и x боль­ше или равно 0 пе­ре­се­ка­ет от­рез­ки DA и CB в двух точ­ках с по­ло­жи­тель­ной абс­цис­сой. Ана­ло­гич­но, эти две точки, а также им сим­мет­рич­ные от­но­си­тель­но оси Оу, об­ра­зу­ют 4 раз­лич­ных ре­ше­ния си­сте­мы. Если a= 25, си­сте­ма урав­не­ний имеет два ре­ше­ния  — точки (0; 0) и (0; 6). На­ко­нец, если a боль­ше 25, дуга окруж­но­сти

 левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =a

и x боль­ше или равно 0 не пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны квад­ра­та K и си­сте­ма урав­не­ний окруж­но­сти

 левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =a

и x боль­ше или равно 0 не пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны квад­ра­та K и си­сте­ма урав­не­ний не имеет ре­ше­ний. Таким об­ра­зом, си­сте­ма урав­не­ний имеет ровно два ре­ше­ния толь­ко при a=1 и a=25.

 

Ответ: a при­над­ле­жит левая фи­гур­ная скоб­ка 1; 25 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Изоб­ра­же­но мно­же­ство точек, удо­вле­тво­ря­ю­щих пер­во­му урав­не­нию си­сте­мы — 1 балл.

За каж­дое зна­че­ние па­ра­мет­ра — по 2 балла.

В ответ вклю­че­ны лиш­ние зна­че­ния па­ра­мет­ра — не более 3 бал­лов за за­да­чу.


Аналоги к заданию № 827: 834 Все