Найдите все значения параметра a, при которых система
имеет ровно два решения.
Рассмотрим первое уравнение системы и изобразим множество его решений на координатной плоскости. Для раскрытия модулей найдём множества точек, в которых выражения под модулями обращаются в ноль. Это прямые 
и 
отрицательны. Таким образом, уравнение принимает вид
откуда 
С учётом рассматриваемых ограничений подходит отрезок с концами в точках 
и 
Аналогично рассматриваем остальные три случая, и в итоге получаем границы квадрата K с вершинами в точках 
и 
Эта фигура не имеет пересечения с полуплоскостью 
поэтому можно считать, что 
С учётом указанного замечания второе уравнение можно записать в виде
(опустив модуль у переменной x). Обозначим множество точек, определяемых этим уравнением, через модуль у переменной x). Обозначим множество точек, определяемых этим уравнением, через 
Если 
у Уравнения нет решений. При 
оно задаёт две точки (6; 8) и (6; −8). Поскольку обе они не принадлежат квадрату K, система не имеет решений, и значение не удовлетворяет условию задачи. Перейдём к случаю 
При 
уравнение принимает вид
и мы получаем окружность радиуса 
с центром в точке (6; 8) (или её часть, лежащую в полуплоскости 
если вся она в этой полуплоскости не помещается). Поскольку уравнение инвариантно относительно замены y на 
множество 
симметрично относительно оси Ox. Таким образом, есть совокупность полученной выше окружности (или её части) и окружности, получающейся из уже построенной отражением относительно оси Ox. Если 
график
не пересекает квадрат K, и система уравнений не имеет решений. Если 
система уравнения имеет два решения — точки 
и 
Если 
дуга окружности
и 
пересекает отрезок AB дважды — эти две точки, а также им симметричные относительно оси Оx, образуют 4 различных решения системы. Если 
дуга окружности
и пересекает отрезки DA и CB в двух точках с отрицательной ординатой. Аналогично, эти две точки, а также им симметричные относительно оси Ох, образуют 4 различных решения системы. Если 
система уравнений имеет два решения — точки (0; 0) и (12; 0). Наконец, если 
дуга окружности
и 
не пересекает стороны квадрата K и система уравнений не имеет решений. Таким образом, система уравнений имеет ровно два решения только при 
и 
Ответ: 
Изображено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы — 1 балл.
За каждое значение параметра — по 2 балла.
В ответ включены лишние значения параметра — не более 3 баллов за задачу.
Наверх