На столе лежит кусочек сахара, вокруг которого по двум окружностям с одной и той же скоростью ползают муравей и жук. На плоскости стола введена прямоугольная система координат, в которой сахар (общий центр окружностей) находится в точке
Обозначим точки, в которых находятся муравей и жук 
и 
соответственно, где 
и β — углы, которые образуют радиус-векторы точек M и N с положительным направлением оси абсцисс. Заметим, что угол между 
и 
равен 
и при этом 
и 
— углы, соответствующие начальным расположениям насекомых.
Расстояние между муравьём и жуком будет наименьшим тогда, когда угол между векторами 
и 
равен нулю. 
—
то угловая скорость муравья в 2 раза больше угловой скорости жука. Пусть к моменту совпадения направления векторов и жук продвинулся на угол 
Тогда
где 
Следовательно,
где 
Различных точек будет три (при 
Для 
получаем
Координаты положения жука найдём по формулам 
и 
Остальные точки получаются поворотом точки 
вокруг начала координат на углы 
и имеют, соответственно, координаты 
и 
Ответ: 