Вокруг птичьей кормушки в одной плоскости с ней по двум окружностям с одинаковой скоростью летают синица и снегирь. В указанной плоскости введена прямоугольная система координат, в которой кормушка (общий центр окружностей) находится в точке O(0; 0). Синица двигается по часовой стрелке, а снегирь — против. В начальный момент времени синица и снегирь находятся в точках 
и 
соответственно. Определите координаты всех положений снегиря, в которых расстояние между птицами будет кратчайшим.
Обозначим точки, в которых находятся синица и снегирь 
и 
соответственно, где 
и β — углы, которые образуют радиус-векторы точек M и N с положительным направлением оси абсцисс. Заметим, что угол между 
и 
равен 
и при этом 
и 
— углы, соответствующие начальным расположениям птиц.
Расстояние между синицей и снегирём будет наименьшим тогда, когда угол между векторами 
и 
равен нулю. Поскольку 
и 
— это радиусы окружностей, и 
то угловая скорость синицы в 2 раза больше угловой скорости снегиря. Пусть к моменту совпадения направления векторов и снегирь продвинулся на угол 
Тогда
где 
Следовательно,
где 
Различных точек будет три (при 
Для 
получаем
Координаты положения снегиря найдём по формулам 
и 
Остальные точки получаются поворотом точки 
вокруг начала координат на углы 
и имеют, соответственно, координаты 
и 
Ответ: 