Варианты заданий
Версия для печати и копирования в MS Word1
Сфера с центром O вписана в трёхгранный угол с вершиной S и касается его граней в точках K, L, M (все плоские углы трёхгранного угла различны). Найдите угол KSO и площадь сечения данного трёхгранного угла плоскостью KLM, если известно, что площади сечений трёхгранного угла плоскостями, касающимися сферы и перпендикулярными прямой SO, равны 4 и 9.
SO — общая), следовательно, 
Высоты, опущенные из точек K, L, M на гипотенузу SO, равны, а их основания — одна и та же точка H, лежащая в плоскости KLM (назовём эту плоскость τ). Пусть β и 
касательные плоскости к сфере, проходящие через точки P 
и 
Рассмотрим сечение трехгранного угла и сферы плоскостью 
(см. рис. и обозначения на нем). Так как SH перпендикулярна HK и SH перпендикулярна HL, то τ и SH — перпендикулярны. Тогда сечения трёхгранного угла плоскостями 
и 
— площадь треугольника, получающегося в сечении трёхгранного угла плоскостью KLM, то из подобия 
и 
