Сфера с центром O вписана в трёхгранный угол с вершиной S и касается его граней в точках K, L, M (все плоские углы трёхгранного угла различны). Найдите угол KSO и площадь сечения данного трёхгранного угла плоскостью KLM, если известно, что площади сечений трёхгранного угла плоскостями, касающимися сферы и перпендикулярными прямой SO, равны 1 и 4.
Обозначим точки пересечения прямой SO со сферой через P и Q (точка P лежит на отрезке SO, а Q — вне него). Пусть радиус сферы равен r. Треугольники OKS, OLS и OMS прямоугольные (углы при вершинах K, L, M прямые, так как касательные перпендикулярны радиусам, проведённым в точку касания). Эти треугольники равны по катету и гипотенузе 
SO — общая), следовательно,
(пусть 
Высоты, опущенные из точек K, L, M на гипотенузу SO, равны, а их основания — одна и та же 
Пусть β и 
касательные плоскости к сфере, проходящие через точки P и Q, а E и F — точки пересечения этих плоскостей с прямой SK. По условию площади сечений трёхгранного угла этими плоскостями равны соответственно 
и 
Рассмотрим сечение трехгранного угла и сферы плоскостью 
(см. рис. и обозначения на нем). Так как SH перпендикулярна HK и SH перпендикулярна HL, то τ и SH — перпендикулярны. Тогда сечения трёхгранного угла плоскостями 
—
Если 
— площадь треугольника, получающегося в сечении трёхгранного угла плоскостью 
то из подобия
Следовательно,
Тогда
откуда
и 
Отсюда
Далее,
Значит,
откуда 
Ответ: 
