РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 846 Добавить в вариант

Решите уравнение

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в кубе минус 16x плюс 25 конец аргумента =x в квадрате плюс 3x минус 10.$

Спрятать решение

Решение.

Раскладывая правую часть на множители, получаем

$левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в степени левая круглая скобка 3 конец аргумента минус 16 x плюс 25 правая круглая скобка = левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x минус 4 правая круглая скобка .$

Отсюда есть две возможности: либо $x плюс 5=0$ (тогда $x= минус 5,$ что не подходит по ОДЗ, так как подкоренное выражение отрицательно), либо

$корень из: начало аргумента: x в степени левая круглая скобка 3 конец аргумента минус 16 x плюс 25 правая круглая скобка =2 x минус 4 .$

Решаем последнее уравнение:

$система выражений x в степени левая круглая скобка 3 правая круглая скобка минус 1 6 x плюс 2 5 = левая круглая скобка 2 x минус 4 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка , 2 x минус 4 больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений x в степени левая круглая скобка 3 правая круглая скобка минус 4 x в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс 9 = 0 , x больше или равно 2 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 3 правая круглая скобка =0, x больше или равно 2. конец системы .$ $система выражений x в степени левая круглая скобка 3 правая круглая скобка минус 1 6 x плюс 2 5 = левая круглая скобка 2 x минус 4 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка , 2 x минус 4 больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x в степени левая круглая скобка 3 правая круглая скобка минус 4 x в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс 9 = 0 , x больше или равно 2 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 3 правая круглая скобка =0, x больше или равно 2. конец системы .$

Уравнение системы имеет корни $x=3$ и $x= дробь: числитель: 1 \pm корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,$ и из них неравенству удовлетворяют $x=3$ и $x= дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$ Это и есть ответ к задаче.

Ответ: $левая фигурная скобка 3; дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Уравнение сведено к кубическому — 1 балл.

Сокращение обеих частей уравнения на линейную функцию произведено без проверки — снять 1 балл.

Получен один лишний корень — не более 2 баллов за задачу.

Получено более одного лишнего корня — не более 1 балла за задачу.

Аналоги к заданию № 839: 846 Все

Олимпиада школьников Физтех, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Уравнения иррациональные, Методы алгебры. Разложение на множители

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь