РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 832 Добавить в вариант

Олимпиада школьников Физтех, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Системы нелинейный уравнений, Методы алгебры. Преобразования выражений

Решите систему уравнений

$система выражений левая круглая скобка дробь: числитель: x в степени 4 , знаменатель: y в квадрате конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка десятичный логарифм y правая круглая скобка = левая круглая скобка минус x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка десятичный логарифм левая круглая скобка минус xy правая круглая скобка правая круглая скобка ,2y в квадрате минус xy минус x в квадрате минус 4x минус 8y=0. конец системы .$

Решение.

Логарифмируем первое уравнение системы по основанию 10:

$десятичный логарифм левая круглая скобка дробь: числитель: y в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка , знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка умножить на десятичный логарифм x= десятичный логарифм y в квадрате умножить на десятичный логарифм левая круглая скобка x y правая круглая скобка$

Это уравнение на области допустимых значений равносильно следующему:

$левая круглая скобка 4 десятичный логарифм левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 2 десятичный логарифм y правая круглая скобка десятичный логарифм y= десятичный логарифм левая круглая скобка минус x правая круглая скобка левая круглая скобка десятичный логарифм левая круглая скобка минус x правая круглая скобка плюс десятичный логарифм y правая круглая скобка равносильно десятичный логарифм в квадрате левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 3 десятичный логарифм y десятичный логарифм левая круглая скобка минус x правая круглая скобка плюс 2 десятичный логарифм в квадрате y=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка десятичный логарифм левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус десятичный логарифм y правая круглая скобка левая круглая скобка десятичный логарифм левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 2 десятичный логарифм y правая круглая скобка =0 равносильно левая круглая скобка минус x минус y правая круглая скобка левая круглая скобка минус x минус y в квадрате правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x= минус y, x= минус y в квадрате . конец совокупности .$ $левая круглая скобка 4 десятичный логарифм левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 2 десятичный логарифм y правая круглая скобка десятичный логарифм y= десятичный логарифм левая круглая скобка минус x правая круглая скобка левая круглая скобка десятичный логарифм левая круглая скобка минус x правая круглая скобка плюс десятичный логарифм y правая круглая скобка равносильно$
$равносильно десятичный логарифм в квадрате левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 3 десятичный логарифм y десятичный логарифм левая круглая скобка минус x правая круглая скобка плюс 2 десятичный логарифм в квадрате y=0 равносильно левая круглая скобка десятичный логарифм левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус десятичный логарифм y правая круглая скобка левая круглая скобка десятичный логарифм левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 2 десятичный логарифм y правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка минус x минус y правая круглая скобка левая круглая скобка минус x минус y в квадрате правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x= минус y, x= минус y в квадрате . конец совокупности .$ $левая круглая скобка 4 десятичный логарифм левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 2 десятичный логарифм y правая круглая скобка десятичный логарифм y= десятичный логарифм левая круглая скобка минус x правая круглая скобка левая круглая скобка десятичный логарифм левая круглая скобка минус x правая круглая скобка плюс десятичный логарифм y правая круглая скобка равносильно$
$равносильно десятичный логарифм в квадрате левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 3 десятичный логарифм y десятичный логарифм левая круглая скобка минус x правая круглая скобка плюс 2 десятичный логарифм в квадрате y=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка десятичный логарифм левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус десятичный логарифм y правая круглая скобка левая круглая скобка десятичный логарифм левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 2 десятичный логарифм y правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка минус x минус y правая круглая скобка левая круглая скобка минус x минус y в квадрате правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x= минус y, x= минус y в квадрате . конец совокупности .$

Записываем второе уравнение в виде

$x в квадрате плюс x левая круглая скобка y плюс 4 правая круглая скобка плюс 8 y минус 2 y в квадрате =0$

и решаем его как квадратное относительно переменной x:

$D= левая круглая скобка y плюс 4 правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка 8 y минус 2 y в квадрате правая круглая скобка =y в квадрате плюс 8 y плюс 16 минус 32 y плюс 8 y в квадрате = левая круглая скобка 3 y минус 4 правая круглая скобка в квадрате \Rightarrow x= дробь: числитель: минус левая круглая скобка y плюс 4 правая круглая скобка \pm левая круглая скобка 3 y минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби .$ $D= левая круглая скобка y плюс 4 правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка 8 y минус 2 y в квадрате правая круглая скобка =y в квадрате плюс 8 y плюс 16 минус 32 y плюс 8 y в квадрате = левая круглая скобка 3 y минус 4 правая круглая скобка в квадрате \Rightarrow$
$\Rightarrow x= дробь: числитель: минус левая круглая скобка y плюс 4 правая круглая скобка \pm левая круглая скобка 3 y минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби .$

Значит, $x= минус 2 y$ или $x=y минус 4.$ Далее возможны четыре случая.

а)  Решим систему:

$система выражений x= минус y, x= минус 2y конец системы . равносильно система выражений x=0, y=0 . конец системы .$

Точка (0; 0) не удовлетворяет ОДЗ.

б)  Решим систему:

$система выражений x= минус y, x=y минус 4 конец системы . равносильно система выражений x= минус 2, y=2 . конец системы .$

в)  Решим систему:

$система выражений x= минус y в квадрате , x= минус 2 y конец системы . равносильно совокупность выражений система выражений x=0, y=0, конец системы . система выражений x= минус 4, y=2. конец системы . конец совокупности .$

Точка (0; 0) не удовлетворяет ОДЗ.

г)  Решим систему:

$система выражений x= минус y в квадрате , x=y минус 4 конец системы . равносильно система выражений x=y минус 4, y в квадрате плюс y минус 4=0 конец системы . равносильно система выражений x=y минус 4, y= дробь: числитель: минус 1 \pm корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно совокупность выражений система выражений x= дробь: числитель: минус 9 плюс корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , y= дробь: числитель: минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . система выражений x= дробь: числитель: минус 9 минус корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , y= дробь: числитель: минус 1 минус корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби . конец системы . конец совокупности .$ $система выражений x= минус y в квадрате , x=y минус 4 конец системы . равносильно система выражений x=y минус 4, y в квадрате плюс y минус 4=0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x=y минус 4, y= дробь: числитель: минус 1 \pm корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно совокупность выражений система выражений x= дробь: числитель: минус 9 плюс корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , y= дробь: числитель: минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . система выражений x= дробь: числитель: минус 9 минус корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , y= дробь: числитель: минус 1 минус корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби . конец системы . конец совокупности .$

Точка

$левая круглая скобка дробь: числитель: минус 9 минус корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: минус 1 минус корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка$

не удовлетворяет ОДЗ.

Объединяя результаты, получаем итоговый ответ:

$левая круглая скобка минус 4; 2 правая круглая скобка , левая круглая скобка минус 2; 2 правая круглая скобка , левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента минус 9, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка минус 4; 2 правая круглая скобка , левая круглая скобка минус 2; 2 правая круглая скобка , левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента минус 9, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Первое уравнение разложено на множители — 2 балла.

Второе уравнение разложено на множители — 1 балл.

Не учтено ОДЗ — снять 1 балл.

Аналоги к заданию № 825: 832 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе