Всего: 145 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
Решите уравнение
Раскладывая правую часть на множители, получаем
Отсюда есть две возможности: либо 
(тогда 
что не подходит по ОДЗ, так как подкоренное выражение отрицательно), либо
Решаем последнее уравнение:
Уравнение системы имеет корни 
и 
и из них неравенству удовлетворяют и 
Это и есть ответ к задаче.
Ответ: 
Уравнение сведено к кубическому — 1 балл.
Сокращение обеих частей уравнения на линейную функцию произведено без проверки — снять 1 балл.
Получен один лишний корень — не более 2 баллов за задачу.
Получено более одного лишнего корня — не более 1 балла за задачу.
Решите неравенство
Неравенство можно переписать в виде
или 
Чтобы разложить левую часть на множители, отметим, что она представляет собой квадратный трёхчлен относительно 
с дискриминантом, равным
Значит, корни 
равны 
то есть 
и 
а неравенство принимает вид
В последнем неравенстве требуется сравнить произведение двух чисел с нулём, поэтому при замене каждого из множителя выражением того же знака мы получим равносильное неравенство. Достаточно отметить, что для неотрицательных чисел A и B знак разности 
совпадает со знаком разности квадратов
Отсюда получаем
Ответ: 
При решении рассмотрением двух случаев — по 3 балла за каждый случай.
При другом способе решения: левая часть неравенства разложена на множители — 3 балла.
Даны многочлены 
и 
a) Докажите, что многочлен 
делится на 
б) Найдите все 
отличные от 
при которых многочлен 
имеет действительные корни.
в) Докажите, что при всех натуральных 
многочлен 
делится на
a) Решим задачу двумя способами.
Ⅰ способ. Ясно, что 
Ясно также, что если имеет место разложение 
то 
и 
Преобразование
показывает, что многочлен p3(x) действительно делится на q(x), а частное равно 
Теперь уже нетрудно догадаться, что
и затем проверить это тождество, например по индукции.
Ⅱ способ.. Трехчлен q(x) имеет комплексные корни 
Многочлен pn(x) делится на q(x), если числа z1, 2 являются также и его корнями. Преобразование:
показывает, что это действительно так. Обозначим 
тогда
в чем можно убедиться, раскрыв скобки (на самом деле второй множитель подбирался так — ясно, что он тоже второй степени и начинается с 
чтобы дать 
а его свободный член равен 
чтобы сходился свободный член произведения. Наконец средний коэффициент противоположен к 
чтобы коэффициент при 
оказался бы нулем).
б) Вероятно в условии опечатка, нужно про
Дискриминант равен 
при всех 
Поэтому вещественных корней это уравнение не имеет 
в) Докажите, что при всех натуральных многочлен делится на
Разберем сразу случай 
Тогда нужно доказать, что многочлен 
делится на какой-то квадратный трехчлен, что очевидно. В остальных случаях 
Найдем комплексные корни Это будут
Обозначим 
тогда 
Убедимся, что эти числа являются корнями многочлена — делится на Более того, поскольку имеет вещественные коэффициенты, достаточно проверить, что его корнем будет z - тогда 
тоже будет корнем. Подставляя 
получим
Утверждение доказано.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Решите неравенство 
б) Найдите все решения уравнения 
лежащие в отрезке 
в) Решите уравнение 
а) Преобразуем неравенство 
т. е. 
При 
получаем неравенство 
или 
У многочлена в левой части есть корень 
поэтому многочлен в левой части раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его
Оба множителя неотрицательны при 
поэтому подходит только 
При 
получаем неравенство 
то есть 
или 
Второй множитель всегда положителен, значит, 
Окончательно 
Ответ:
б) Преобразуем уравнение
Второй множитель дает
Если же нулю равен первый множитель, то
Функция 
на отрезке 
убывает, принимая по одному разу все значения из промежутка 
а на промежутке 
возрастает, принимая по одному разу все значения из промежутка 
Теперь можно написать ответ. При 
и при 
решений нет. При 
получим 
При 
получим 
поэтому уравнение имеет два корня, а именно 
и 
откуда 
При 
получим 
поэтому уравнение имеет один корень, а 
Осталось добавить корень 
везде, где его еще нет и можно написать окончательный ответ. При одно решение При одно решение При три решения 
и При 
два решения
(не сошлось с ответом, стоит проверить!)
Ответ: 
при любом b, 
при 
при 
в) Преобразуем уравнение 
или 
Поделив на 
получим 
откуда 
Функция в левой части уравнения возрастает, а в правой — убывает, поэтому их графики пересекутся не более одного раза. Один корень можно угадать, это
Ответ:
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
при любом b, при при а) Найдите наименьшее положительное решение уравнения 
б) Найдите число решений уравнения 
в) Докажите, что уравнение 
имеет ровно два решения.
г) Докажите, что выражение 
принимает любое действительное значение тогда и только тогда, когда только одно из чисел a, b лежит между c и d.
а) Обозначим 
тогда
и 
Уравнение примет вид
У многочлена в левой части есть корень 
поэтому многочлен в левой части раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его 
Значит, либо 
либо 
Ясно, что каждое свое положительное значение 
впервые при положительном x принимает на 
— возрастающая функция). Докажем, что
что очевидно, на самом деле 
Значит, наименьший положительный корень уравнения 
Ответ: 
б) Запишем уравнение в виде 
и изобразим графики обеих частей.
Правая часть дает график, похожий на 
только отраженный относительно вертикальной оси, сдвинутый вправо на 5 и вниз на −2.
Левая часть дает прямую, проходящую через начало координат. При 
очевидно есть одна общая точка, как и при 
При 
уменьшение a поворачивает прямую вокруг начала координат. При 
будет два корня — один при отрицательных x, второй при положительных.
При дальнейшем уменьшении a отрицательный корень будет всегда, а положительный исчезнет после того, как прямая пройдет через начальную точку графика 
и 
Это случится когда 
или 
Итак, получаем ответ. При 
—
Ответ: два решения при 
одно — при 
в) Перепишем уравнение в виде 
Заметим, что при 
левая часть равна
при 
левая часть равна
при 
левая часть равна 
Отсюда по непрерывности 
и 
есть корни. Итак, корней не менее двух.
Докажем, что корней не больше двух. Как известно, между двумя корнями непрерывно дифференцируемой функции всегда есть корень ее производной (это следствие теоремы Ролля), поэтому если корней больше двух, то у производной больше одного корня. Но производная равна
Итак, требуется найти условие, при котором для любого числа α существует решение квадратного уравнения
или
(случай 
следует рассмотреть отдельно). Преобразуем дискриминант этого квадратного уравнения:
Положим для краткости
и
Тогда
и 
Квадратное уравнение (относительно x) имеет решение тогда и только тогда, когда при всех α верно неравенство 
для чего необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратичного относительно α выражения 
был не положителен. Проделанные вычисления показывают, что последний дискриминант равен
Для завершения доказательства осталось проверить, что неравенство
имеет место, когда одно из чисел a, b лежит между c и d.
г) Будем считать, что 
По условию, уравнение 
должно быть разрешимо для любого k. Преобразуем это уравнение 
получим 
При 
уравнение сводится к 
то есть к 
Это уравнение имеет корни всегда, кроме возможно случая, когда 
что невозможно, если ровно одно из чисел a и b лежит между c и d (например, если 
то 
аналогично разбираются и другие варианты), а мы ниже установим, что это условие выполнено.
При прочих k получаем квадратное уравнение
Его дискриминант должен быть неотрицателен. Вычислим его:
Для того, чтобы это выражение было всегда неотрицательно (теоретически кроме 
но если квадратный трехчлен неотрицателен везде, кроме одной точки, то он неотрицателен и в ней), необходимо и достаточно чтобы старший коэффициент этого квадратного трехчлена от k был положителен (это так) и его дискриминант был не положителен. Вычислим его:
Равенство нулю невозможно, поскольку a, b, c, d различны. Значит, на самом деле это выражение меньше нуля, откуда 
и 
имеют различные знаки. Но выражение 
отрицательно при 
и отрицательно при 
и 
значит, одно из чисел a и b лежит между c и d, а другое не лежит.
Обратно. Пусть числа расположены именно так. Тогда 
поэтому дискриминант трехчлена
не положителен, поэтому его значения всегда неотрицательны и трехчлен
всегда имеет корни, кроме того при уравнение 
разрешимо. Значит, функция действительно принимает все значения.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
два решения при одно — при а) Известно, что 
Найдите 
б) Докажите, что если многочлен 
делится на многочлен 
то многочлен 
делится на 
в) Докажите, что многочлен 
делится на многочлен 
а) Заметим, что
откуда 
Тогда
Ответ: 
б) Условие означает, что найдется такой многочлен 
что 
при всех x. Подставляя в это равенство 
вместо x, получим 
откуда следует утверждение задачи.
в) Пусть 
и
Имеем:
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) Найдите все b, при которых система неравенств
имеет единственное решение.
а) Область определения неравенства — луч 
Поскольку 
то
значит,
Решением первой системы неравенств является отрезок 
решение второй — отрезок 
— не лежит в области определения исходного неравенства.
Ответ: 
б) Выражение 
при помощи преобразования произведения косинусов в сумму и наоборот может быть приведено к виду 
откуда 
или 
Ответ: 
в) Первое из неравенств системы задает множество точек, лежащих не ниже параболы 
второе — множество точек, лежащих, не левее симметричной ей относительно прямой 
параболы 
Ясно, что эти множества имеют единственную общую точку тогда и только тогда, когда первая парабола касается прямой 
поскольку тогда вторая парабола также касается этой прямой, причем в той же самой точке. Парабола 
касается прямой если квадратное уравнение 
имеет единственное решение. Приравняв нулю дискриминант этого уравнения, получим ответ.
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) Найдите все b, при которых система неравенств
имеет единственное решение.
а) Преобразуем исходное выражение при условии 
(иначе оно не определено) и рационализируем его
Вернемся к неравенству
Множитель 
положителен при и на знак не влияет. Корнями остальных множителей будут 
и 
причем
а 
и 
меньше двойки и нас не интересуют. С помощью метода интервалов получим ответ на 
Ответ: 
б) Домножим уравнение на 
отметив сразу, что точки 
не являются корнями исходного уравнения, поскольку для них 
и 
но 
Решим
Осталось выкинуть точки вида поскольку они появились в ответе от умножения на 
Они получаются, если k делится на 3 но не на 6. Окончательно 
и 
Ответ: 
в) Найдите все b, при которых система неравенств 
имеет единственное решение.
Очевидно, что если пара чисел 
подходит в систему, то и пара чисел 
подходит в систему, поэтому единственным решение может быть только если 
Далее, из пар вида 
должна подходить ровно одна (больше одной нельзя по условию, а если не подходит ни одна, то единственного решения не будет), то есть 
Перепишем его в виде 
Тогда трехчлен 
должен иметь единственный корень (если корней два, то на роль x подойдет любое число между корнями, а если корней нет вовсе, то у неравенства не будет решений). Тогда его дискриминант 
откуда Осталось убедиться, что система неравенств
имеет только решение 
Сложив неравенства, получим 
Ответ:
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Решите систему 
б) Существует ли многочлен 
имеющий девять различных действительных корней, все коэффициенты ai которого по модулю не превосходят 0,001?
в) Докажите неравенство 
а) Неравенство приводится к виду 
где 
поскольку 
Из первого уравнения получаем 
или 
Разберем два случая.
Если 
то 
или 
где
При получим 
и второе уравнение примет вид 
т. е. 
или 
При 
получим 
и второе уравнение примет вид 
или 
Если 
то 
или 
При получим 
и второе уравнение примет вид 
где 
При 
получим 
и второе уравнение примет вид 
где 
Ответ: 
б) Действительно, положим 
Ясно, что если корни xi достаточно малы, то и коэффициенты многочлена 
малы. Можно написать явные оценки, но лучше провести следующее рассуждение.
Пусть
Коэффициенты этого многочлена имеют вид 
Поскольку 
при 
то найдется такое натуральное число n, что 
i = 1, 2, ..., 9.
Ответ: Да, существует.
в) Обозначим 
Тогда неравенство можно записать в виде
Что верно, поскольку 
поэтому 
и 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Да, существует.а) Решите систему 
б) Существует ли многочлен 
имеющий восемь различных действительных корней, все коэффициенты ai которого по модулю не превосходят 0,001?
в) Докажите неравенство 
а) Из первого уравнения получаем или 
Разберем два случая.
Если то или При получим и второе уравнение примет вид 
отсюда 
При получим и второе уравнение примет вид 
т. е. 
Если 
то можно поменять мысленно местами x и y и получить предыдущий случай.
Ответ: 
б) Да, существует. Рассмотрим многочлен
Пусть 
и 
Рассмотрим тогда многочлен
Этот многочлен имеет корни 
и его коэффициенты не превосходят 
в) Обозначим 
Тогда неравенство можно записать в виде
Что верно, поскольку 
поэтому 
и
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) На сторонах угла величиной 
с вершиной в точке A на расстоянии 4 друг от друга лежат точки K и L. Пусть M — точка пересечения восстановленных в точках K и L перпендикуляров к соответствующим сторонам угла. Найдите расстояние от M до A.
г) Сколько сторон имеет сечение куба 
плоскостью, проходящей через точки 
и 
которые делят эти отрезки в, соответственно, отношениях 
и 
(считая от вершины, указанной первой)?
а) Решите неравенство
Ясно что 
и не подходят в неравенство. При прочих x можно домножить неравенство на 
и получить
У многочлена в левой части есть корень поэтому многочлен в левой части раскладывается на множители, один из которых равен Выделим его
У второго множителя левой части есть корень 
поэтому он раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его
Дискриминант последнего множителя равен 
поэтому он всегда положителен. Сократив его, получим 
откуда 
или 
Окончательно, учитывая условия 
и 
получаем 
Ответ: 
б) Решите уравнение
Обозначим 
Тогда 
и уравнение примет вид
Если 
то 
и при этом условии можем возвести в квадрат, получим
При 
подходит любое 
При прочих a можно сократить на 
получим
заметим корень с другим знаком все равно не подходит. Очевидно 
поэтому такой корень подходит.
Если 
то 
и при этом условии можем возвести в квадрат, отсюда
Можно сократить на 
тогда 
При 
это невозможно (правая часть неположительная, а левая положительна). При 
получим
заметим корень с другим знаком все равно не подходит. Очевидно 
при условии 
то есть 
Итак, такой корень подходит при 
при прочих отрицательных a нет корней.
Наконец при 
уравнение сводится к 
то есть
Теперь можно записать ответ, дорешав уравнения 
в случаях 
Во всех случаях 
при нет корней; при 
и 
при 
при 
нет корней; при 
при 
и 
при 
Ответ: 
при 
при 
при 
при 
в) На сторонах угла величиной с вершиной в точке A на расстоянии 4 друг от друга лежат точки K и L. Пусть M — точка пересечения восстановленных в точках K и L перпендикуляров к соответствующим сторонам угла. Найдите расстояние от M до A.
Обозначим 
тогда
Тогда по теореме синусов для треугольника KAL получаем 
откуда 
Аналогично по теореме синусов для треугольника MKL получаем 
Тогда по теореме Пифагора получаем
Ответ: 
г) Сколько сторон имеет сечение куба плоскостью, проходящей через точки и которые делят эти отрезки в, соответственно, отношениях и (считая от вершины, указанной первой)?
Обозначим ребро куба за 
тогда 
и 
Отметим кроме того точку 
для которой 
Тогда 
и 
- параллелограмм (его стороны 
и AK равны и параллельны), поэтому 
и 
Далее, 
и 
поэтому 
—
и 
Из этого получаем, что 
и 
поэтому точки K, L, M, D лежат в одной плоскости (и образуют там вершины параллелограмма). Этот параллелограмм и будет сечением куба, поэтому сечение имеет 4 стороны.
(не сошлось с ответом!)
Ответ: Пять сторон.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
при при при при Пять сторон.Решите неравенство
Данное неравенство равносильно неравенству
Обозначим здесь 
и 
(заметим, что 
так как v — квадратный трёхчлен с отрицательным дискриминантом). Тогда неравенство принимает вид
Раскладывая левую часть на множители (например, рассмотрев как квадратичную функцию относительно u и найдя корни), получаем 
Первый множитель положителен, поэтому 
Возвращаемся к переменной x:
Второй множитель положителен, поэтому остаётся 
откуда 
Ответ: 
Левая часть неравенства разложена на два множителя — 3 6алла.
Задача сведена к квадратному неравенству с модулем — 1 балл.
Решено это неравенство — 3 балла.
Решите неравенство
Данное неравенство равносильно неравенству
Обозначим здесь 
(заметим, что 
так как v — квадратный трёхчлен с отрицательным дискриминантом). Тогда неравенство принимает вид 
Раскладывая левую часть на множители (например, рассмотрев как квадратичную функцию относительно u и найдя корни), получаем 
Первый множитель положителен, поэтому 
Возвращаемся к переменной x:
Второй множитель положителен, поэтому остаётся 
откуда 
или 
Ответ: 
Левая часть неравенства разложена на два множителя — 3 6алла.
Задача сведена к квадратному неравенству с модулем — 1 балл.
Решено это неравенство — 3 балла.
Решите неравенство
Перепишем неравенство в виде
Сгруппировав первый член с третьим, а второй — с четвёртым, раскладываем левую часть неравенства на множители:
Далее возможны два случая:
Ответ: 
Грубая ошибка в работе с логарифмами (неверная формула; не рассмотрены случаи основание > 1, основание < 1 для неравенства и т. п. — 0 баллов за все дальнейшие действия (или за рассматриваемый случай).
Получено верное неравенство относительно 
(или 
и т. д.) — 2 балла.
Получено верное решение этого неравенства относительно t — 2 балла.
Совершен верный возврат к переменной x — 2 балла. (Если при этом не учтено ОДЗ, то эти 2 балла не ставятся!)
При другом способе решения. Левая часть разложена на множители 
—
За рассмотрение каждого из случаев 
или 
— по 2 балла.
Если при этом в одном из случаев нестрогие неравенства заменены строгими (что, например, может привести к потере изолированной точки), то снять 1 балл.
Решите неравенство
Перепишем неравенство в виде
Сгруппировав первый член с третьим, а второй — с четвёртым, раскладываем левую часть неравенства на множители:
Далее возможны два случая:
Объединяя результаты, получаем 
Ответ:
Грубая ошибка в работе с логарифмами (неверная формула; не рассмотрены случаи основание > 1, основание < 1 для неравенства и т. п. — 0 баллов за все дальнейшие действия (или за рассматриваемый случай).
Получено верное неравенство относительно (или и т. д.) — 2 балла.
Получено верное решение этого неравенства относительно t — 2 балла.
Совершен верный возврат к переменной x — 2 балла. (Если при этом не учтено ОДЗ, то эти 2 балла не ставятся!)
При другом способе решения. Левая часть разложена на множители —
За рассмотрение каждого из случаев или — по 2 балла.
Если при этом в одном из случаев нестрогие неравенства заменены строгими (что, например, может привести к потере изолированной точки), то снять 1 балл.
Преобразуем левую часть неравенства:
Обозначим 
Тогда
и неравенство принимает вид 
Одним из корней многочлена в левой части является 
Выделив множитель 
получаем
откуда 
(так как то второй множитель положителен). Находим x:
Ответ: 
Получено неравенство относительно (или и т. д.) — 2 балла.
То же без упрощения правой/левой части — 1 балл.
Получено решение этого неравенства относительно t — 2 балла.
Совершён возврат к переменной x — 2 балла.
Неэквивалентное преобразование неравенства — 0 баллов за задачу.
Решите неравенство
Преобразуем левую часть неравенства:
Обозначим 
Тогда
и неравенство принимает вид
Одним из корней многочлена в левой части является 
Выделив множитель 
получаем
откуда 
(так как то второй множитель положителен). Находим x:
Ответ: 
Получено неравенство относительно (или и т. д.) — 2 балла.
То же без упрощения правой/левой части — 1 балл.
Получено решение этого неравенства относительно t — 2 балла.
Совершён возврат к переменной x — 2 балла.
Неэквивалентное преобразование неравенства — 0 баллов за задачу.
Решите систему уравнений
Данная система равносильна следующей:
Разделив почленно второе уравнение последней системы на первое, получаем 
откуда 
Подставляем это в первое уравнение:
Подбором находим целочисленный корень этого уравнение — 
Выделив множитель 
получаем
Значит, уравнение имеет единственный корень Тогда 
и пара чисел 
является единственным решением системы.
Ответ: {(−4, −1)}.
Получено линейное соотношение между переменными (в билете 
в билете 30 — 
в билете 31 — 
в билете 32 — 
— 3 балла.
Решено кубическое уравнение — 2 балла.
Получено решение системы — 1 балл.
Решите систему уравнений
Данная система равносильна следующей:
Разделив почленно второе уравнение последней системы на первое, получаем откуда 
Подставляем это в первое уравнение:
Подбором находим целочисленный корень этого уравнения 
Выделив множитель 
получаем
Значит, уравнение имеет единственный корень 
Тогда 
и пара чисел (2; 1) является единственным решением системы.
Ответ: {(2, 1)}.
Получено линейное соотношение между переменными (в билете в билете 30 — в билете 31 — в билете 32 — — 3 балла.
Решено кубическое уравнение — 2 балла.
Получено решение системы — 1 балл.
Найдите значение выражения 
где a и b — соответственно наибольший и наименьший корни уравнения 
Данное уравнение равносильно следующему
откуда или 
Наибольший корень — это 
наименьший — 
Тогда
Ответ: 34.
Уравнение приведено к виду 
— 1 балл.
Найдены все корни уравнения и других продвижений нет — 2 балла за всю задачу.
При решении использована теорема Виета для уравнения 
и не доказано, что его корни являются наибольшим и наименьшим корнями исходного уравнения — снять 1 балл.
Наверх