РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1365 Добавить в вариант

Решите систему уравнений

$система выражений x в квадрате y плюс xy в квадрате минус 2x минус 2y плюс 10=0,x в кубе минус xy в кубе минус 2x в квадрате плюс 2y в квадрате минус 30=0. конец системы .$

Спрятать решение

Решение.

Данная система равносильна следующей:

$система выражений x y левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка плюс 1 0 = 0 , x y левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка минус y в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка минус y в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка правая круглая скобка минус 3 0 = 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x y минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка = минус 10, левая круглая скобка x y минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка =30 . конец системы .$

Разделив почленно второе уравнение последней системы на первое, получаем $x минус y= минус 3,$ откуда $y=x плюс 3.$ Подставляем это в первое уравнение:

$левая круглая скобка x в квадрате плюс 3 x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка = минус 10,2 x в кубе плюс 9 x в квадрате плюс 5 x плюс 4=0 .$

Подбором находим целочисленный корень этого уравнение  — $x= минус 4.$ Выделив множитель $левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка ,$ получаем

$левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x в квадрате плюс x плюс 1 правая круглая скобка =0 .$

Значит, уравнение имеет единственный корень $x= минус 4.$ Тогда $y= минус 1,$ и пара чисел $левая круглая скобка минус 4 ; минус 1 правая круглая скобка$ является единственным решением системы.

Ответ: {(−4, −1)}.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Получено линейное соотношение между переменными (в билете $29 минус y=x плюс 3,$ в билете 30 — $x плюс y=3,$ в билете 31 — $y=x плюс 2,$ в билете 32 — $x плюс y=5 правая круглая скобка$  — 3 балла.

Решено кубическое уравнение — 2 балла.

Получено решение системы — 1 балл.

Аналоги к заданию № 1365: 1371 Все

Олимпиада школьников Физтех, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Системы нелинейный уравнений, Методы алгебры. Преобразования выражений, Методы алгебры. Разложение на множители

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь