сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Из­вест­но, что x плюс y=2, x в кубе плюс y в кубе =5. Най­ди­те x в сте­пе­ни 5 плюс y в сте­пе­ни 5 .

б)  До­ка­жи­те, что если мно­го­член x в сте­пе­ни n минус 1 де­лит­ся на мно­го­член x в сте­пе­ни k минус 1, то мно­го­член x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4n пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 де­лит­ся на x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4k пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1.

в)  До­ка­жи­те, что мно­го­член левая круг­лая скоб­ка x в сте­пе­ни n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \ldots левая круг­лая скоб­ка x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n плюс k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка де­лит­ся на мно­го­член левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \ldots левая круг­лая скоб­ка x в сте­пе­ни k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­ме­тим, что

x в кубе плюс y в кубе = левая круг­лая скоб­ка x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус xy плюс y в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =2 левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 3xy пра­вая круг­лая скоб­ка =2 левая круг­лая скоб­ка 4 минус 3xy пра­вая круг­лая скоб­ка ,

от­ку­да 2 левая круг­лая скоб­ка 4 минус 3xy пра­вая круг­лая скоб­ка =5, 8 минус 6xy=5, xy= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Тогда

x в сте­пе­ни 5 плюс y в сте­пе­ни 5 = левая круг­лая скоб­ка x в кубе плюс y в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка минус x в квад­ра­те y в кубе минус x в кубе y в квад­ра­те =5 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка xy пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка =

=5 левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 2xy пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на 2=5 левая круг­лая скоб­ка 4 минус 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =5 умно­жить на 3 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 29, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 29, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

б)  Усло­вие озна­ча­ет, что най­дет­ся такой мно­го­член Q левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , что x в сте­пе­ни n минус 1=Q левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в сте­пе­ни k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка при всех x. Под­став­ляя в это ра­вен­ство x в сте­пе­ни 4 вме­сто x, по­лу­чим x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4n пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1=Q левая круг­лая скоб­ка x в сте­пе­ни 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4k пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , от­ку­да сле­ду­ет утвер­жде­ние за­да­чи.

 

в)  Пусть q_l левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \ldots левая круг­лая скоб­ка x в сте­пе­ни l минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка и

P_n,k левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус k плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \ldots левая круг­лая скоб­ка x в сте­пе­ни n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \ldots левая круг­лая скоб­ка x в сте­пе­ни k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: q_n левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: q_k левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка q_n минус k левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

Имеем:

P_n,k левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =\dfracq_n минус 1 левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в сте­пе­ни n минус x в сте­пе­ни k плюс x в сте­пе­ни k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка q_k левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка q_n минус k левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = \dfracx в сте­пе­ни k левая круг­лая скоб­ка x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус k пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка q_n минус 1 левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка q_k левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка q_n минус k левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс \dfrac левая круг­лая скоб­ка x в сте­пе­ни k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка q_n минус 1 левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка q_k левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка q_n минус k левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =

=x в сте­пе­ни k P_n минус 1,k левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс P_n минус 1,k минус 1 левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка ,

и оста­лось про­ве­сти ин­дук­цию по n. Кста­ти, не на­по­ми­на­ют ли вам что-либо по­лу­чен­ные вы­ра­же­ния и со­от­но­ше­ния между ними?
Спрятать критерии
Критерии проверки:

За каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

Мак­си­мум за сюжет 12 бал­лов. При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.

Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024