РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

а)  Известно, что $x плюс y=2,$ $x в кубе плюс y в кубе =5.$ Найдите $x в степени 5 плюс y в степени 5 .$

б)  Докажите, что если многочлен $x в степени n минус 1$ делится на многочлен $x в степени k минус 1,$ то многочлен $x в степени левая круглая скобка 4n правая круглая скобка минус 1$ делится на $x в степени левая круглая скобка 4k правая круглая скобка минус 1.$

в)  Докажите, что многочлен $левая круглая скобка x в степени n минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка n плюс k минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка$ делится на многочлен $левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка x в степени k минус 1 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок:
+ (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов)
Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Критерии оценивания выполнения заданий Баллы

Верное и полное выполнение задания 3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет 2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка 1
Остальные случаи 0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.
Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	994	$дробь: числитель: 29, знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Ключ