Всего: 145 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
Решите систему уравнений
Данная система равносильна следующей:
Разделив почленно второе уравнение последней системы на первое, получаем 
откуда 
Подставляем это в первое уравнение:
Подбором находим целочисленный корень этого уравнение — 
Выделив множитель 
получаем
Значит, уравнение имеет единственный корень Тогда 
и пара чисел 
является единственным решением системы.
Ответ: 
Получено линейное соотношение между переменными 
—
Решено кубическое уравнение — 2 балла.
Получено решение системы — 1 балл.
Для треугольника со сторонами a, b, c имеет место соотношение
Определить вид треугольника.
После подстановки
получим:
Отсюда, разлагая многочлен по степеням 
будем иметь:
или
Но 
не может быть мнимым числом. Следовательно, должно быть 
то есть 
Тогда 
то есть 
и так как 
то есть треугольник равнобедренный, то имеем: 
то есть треугольник правильный.
Ответ: равносторонний.
Приведем другое решение.
Преобразуем заданное выражение:
или
Очевидно, что это равенство может иметь место только при 
то есть при 
Найдите количество пар целых чисел (x, y), удовлетворяющих условию 
Раскладывая левую и правую части уравнения на множители, получаем
Поскольку каждый из множителей в левой части является целым числом, отсюда следует, что
где k и l — целые числа из отрезка [0; 100]. Найдём количество решений первой системы. Выражая из неё x и y, получаем
Рассмотрим первое уравнение. Показатели в степенях тройки неотрицательны. Сумма показателей в степенях двойки 
и 
—
вариантов. Вторая система также имеет 9797 решений; итак, всего 19 594 решений.
Ответ: 19 594.
Левая часть уравнения разложена на множители — 1 балл.
Составлена система линейных уравнений относительно x и y — 2 балла.
Найдите количество пар целых чисел (x; y), удовлетворяющих условию 
Раскладывая левую и правую части уравнения на множители, получаем
Поскольку каждый из множителей в левой части является целым числом, отсюда следует, что
где k и l — целые числа из отрезка [0; 100]. Найдём количество решений первой системы. Выражая из неё x и y, получаем
Рассмотрим первое уравнение. Показатели в степенях тройки неотрицательны. Сумма показателей в степенях двойки 
и 
—
вариантов. Вторая система также имеет 9999 решений; итак, всего 19 998 решений.
Ответ: 19 998.
Левая часть уравнения разложена на множители — 1 балл.
Составлена система линейных уравнений относительно x и y — 2 балла.
Назовем тройку натуральных чисел a, b, c вызывающей интерес, если 
кратно 
но ни один из двух множителей сам не кратен 
Дана вызывающая интерес тройка a, b, c. Докажите, что существуют натуральные числа u, v, для которых тройка u, v, c вызывает интерес и 
Если произведение 
делится на 
то 
можно разложить в произведение двух таких множителей 
что 
кратно X, а 
кратно 
Для этого достаточно, например, положить 
Будем считать, не умаляя общности, что 
тогда 
Пусть а 
откуда 
Легко понять, что 
делится на X, но не делится на и 
делится на Y, но явно не делится на 
Следовательно, произведение 
делится на 
Таким образом, u, v, c — тройка, вызывающая интерес.
Найти при каких a уравнение
не имеет решений?
Введём замену 
при 
тогда уравнение примет вид:
Воспользуемся разложением дроби вида 
в виде суммы простейших дробей:
тогда получим:
Сокращаем дроби с учетом допустимых значений: 
где 
тогда 
При a = 0 уравнение не имеет решений, рассмотрим 
тогда:
Оценим правую часть уравнения:
Следовательно, при 
уравнение не имеет решений.
Ответ: 
| Условия выставления | Баллы |
|---|---|
| Обоснованное и грамотно выполненное решение задачи | 12 |
| При верном и обоснованном ходе решения получен ответ, отличающийся от правильного включением/исключением граничных точек | 8 |
| Верно решение задачи, выполнено разложение дробей в сумму простейших, дальнейшее решение неверно или отсутствует | 4 |
| Решение не соответствует вышеперечисленным требованиям | 0 |
Найти при каких a уравнение
не имеет решений?
Введём замену при тогда уравнение примет вид:
Воспользуемся разложением дроби вида 
в виде суммы простейших дробей:
тогда получим:
Сокращаем дроби с учетом допустимых значений:
где 
тогда 
При a = 0 уравнение не имеет решений, рассмотрим тогда:
Оценим правую часть уравнения:
Следовательно, при 
уравнение не имеет решений.
Ответ:
| Условия выставления | Баллы |
|---|---|
| Обоснованное и грамотно выполненное решение задачи | 12 |
| При верном и обоснованном ходе решения получен ответ, отличающийся от правильного включением/исключением граничных точек | 8 |
| Верно решение задачи, выполнено разложение дробей в сумму простейших, дальнейшее решение неверно или отсутствует | 4 |
| Решение не соответствует вышеперечисленным требованиям | 0 |
Известно, что a, b и с — натуральные числа, НОК (a, b) = 945, НОК (b, c) = 525. Чему может равняться НОК (a, c)?
Разложим числа на простые множители, так как 33 встречается только в 
следовательно, 
аналогично получаем, что 
отсюда
Замечаем, что
Учитывая три факта:
получаем, что 
например, при 
и 
или 
например, при 
и 
Ответ: 675 или 4725.
| Баллы | |
|---|---|
| 15 | Обоснованное и грамотно выполненное решение задачи. |
| 12 | При правильном ответе есть замечания к четкости его изложения и обоснования. |
| 8 | Верно приведен один из вариантов (треугольник прямоугольный или непрямоугольный). |
| 0 | Решение не соответствует вышеперечисленным требованиям. |
Решите неравенство 
Область допустимых значений: 
и 
Разложим числитель на множители:
Имеем:
Решая методом интервалов, получаем
Имеем: 
Ответ:
Найдите все значения параметра a, при которых уравнения
имеет два различных корня.
Заменим 
уравнение примет вид
Сумма коэффициентов равна нулю, один из корней уравнения единица, следовательно, многочлен можно разложить на множители:
Это уравнение равносильно совокупности
На координатной плоскости строим множество решений совокупности в области 
Значения y, при которых имеется ровно два положительных корня, образуют множество
Выполнив обратную подстановку, находим вcе значения a.
Ответ: 
Приведем другое решение.
Решение совокупности
построим на плоскости, взяв a вместо y. Второе у равнение тогда определит окружность с цент ром в точке 
и 
красные линии соответствуют случаям двух положительных решений.
Ответ:
Упростить выражение
при 
Прежде чем приводить дроби к общему знаменателю, надо упростить каждую дробь: для первой дроби используем формулу
для второй
Тогда
Окончательно
Ответ: 0.
Решить уравнение 
Для всех уравнений надо находить ОД3. Проверка делается при необходимости (например, в случае появления иррациональных выражений).
Если в процессе решения были сделаны нетождественные преобразования, то проверку надо делать обязательно. В данном примере ОДЗ: 
Представим 
и соберем степени с одинаковыми основаниями в левой и правой частях уравнения:
Вынесем общие множители за скобки:
Разделим обе части уравнения на 
и 3:
по свойству степеней 
получим
Ответ: 
Определите количество кратных трем натуральных делителей числа 
Разложение данного числа на простые множители имеет вид
Все кратные трём делители этого числа имеют вид
где 
Общее количество таких делителей равно
Ответ: 432.
Вычислить 
если
Ответ округлить до целого числа.
Сделаем замену 
тогда уравнение примет вид:
вместо t подставим в уравнение 
получим
Решим систему уравнений:
отсюда
тогда
Ответ: 265 572.
| Баллы | |
|---|---|
| 15 | Обоснованное и грамотно выполненное решение задачи. |
| 10 | При правильном ответе есть замечания к четкости его изложения и обоснования или решение содержит арифметическую ошибку (ошибку при округлении). |
| 5 | Задача верно сведена к решению системы уравнений. |
| 0 | Решение не соответствует вышеперечисленным требованиям. |
Упростить выражение
при 
и 
Прежде чем производить вычисление, упростим каждую дробь, используя формулы 
и 
Тогда
и
Значит,
Ответ: 
Решить уравнение 
Находим ОД3 данного уравнения: Обозначим 
Тогда 
и уравнение примет вид 
откуда 
По теореме Виета 
и 
получаем 
и 
но t2 — посторонний корень, так как не удовлетворяет условию 
Следовательно, 
отсюда 
или 
Ответ: {2}.
Решить систему уравнений 
Найдем ОД3: 
Разложим оба уравнения системы на множители:
Так как 
(при 
система решений не имеет), то, разделив первое уравнение на второе, получим
или
При 
или 
система решений не имеет (проверяем непосредственной подстановкой или во второе уравнение). Поэтому можно разделить обе части последнего уравнения на 
Получим
Обозначив 
запишем и решим уравнение:
Итак,
Аналогично при 
получим 
и 
Для проверки подставим 
и 
в первое и второе уравнения:
то есть и является решением системы. Сделав проверку для 
и 
получим, что и вторая пара корней удовлетворяет системе уравнений, что очевидно в силу симметричности заданной системы.
Ответ: 
Решите неравенство
Запишем ОДЗ неравенства 
С помощью разложения на множители и сокращения одинаковых выражений с учетом ОДЗ получаем простое неравенство
Пересекая множество его решений с условием ОД3, получаем 
Ответ: 
Найти все решения уравнения 
если известно, что m, p и q — положительные простые числа.
Заметим, что 2019 — нечетное число, и, значит, одно из чисел 3m или p q — четное, то есть, хоть одно из чисел m, p или q — четное. Единственное четное простое число — это 2. Разложив на простые множители число 2019, получим уравнение 
или 
Следовательно,
В первом случае не все числа положительные, в остальных случаях не все числа простые.
Ответ: решений нет.
Найти все решения уравнения 
если известно, что m, p и q — положительные простые числа.
Заметим, что 2019 — нечетное число, и, значит, одно из чисел 3m или pq — четное, то есть, хоть одно из чисел m, p или q — четное. Единственное четное простое число — это 2. Разложив на простые множители число 2019, получим уравнение 
или 
Следовательно,
Ответ: (2, 3, 671), (2, 671, 3), (671, 2, 3), (671, 3, 2), но 671 не простое число, поэтому решений нет.
Наверх