Найти все решения уравнения если известно, что m, p и q — положительные простые числа.
Решение.
Заметим, что 2019 — нечетное число, и, значит, одно из чисел 3m или pq четное, то есть, хоть одно из чисел m, p или q — четное. Единственное четное простое число — это 2. Разложив на простые множители число 2019, получим уравнение или Следовательно,
Решить уравнение в целых положительных числах
Решение.
Преобразуем исходное уравнение: Рассмотрим решим его как квадратное уравнение относительно y, получим и Тогда оба множителя целые положительны. Заметим, что Подходит разложение тогда и отсюда и
Решить уравнение в целых положительных числах
Решение.
Преобразуем исходное уравнение: Рассмотрим решим его как квадратное уравнение относительно y, получим и Тогда оба множителя целые положительны. Заметим, что Подходит разложение тогда и отсюда и
Найдите все натуральные числа a и b такие, что где p — некоторое простое число.
(М. Попов)
Решение.
Разложим левую часть уравнения на множители
Заметим, что правая часть делится на 3, следовательно, хотя бы один из сомножителей делится на 3. Если
и наоборот
Получаем, что левая часть уравнения делится на 9, значит, Полу чаем, что а так как то
В итоге получаем такое уравнение
причем оба сомножителя положительны и делятся на 3. Заметим также, что второй сомножитель больше первого, поэтому возможет только один вариант разбиения на множители
Выражаем а и подставляем во второе уравнение
Решаем квадратное уравнение и получаем корни
и
Нас интересуют только натуральные числа, поэтому и
Первое уравнение задает полуокружность с центром в точке (3; 2), а второе — гиперболу с двумя асимптотами и (см. рисунок). К тому же не стоит забывать про ОДЗ:
В итоге получаем, что исходное уравнение имеет ровно два решения тогда и только тогда, когда прямая пересекает полуокружность и гиперболу ровно в двух точках в полосе Из графика видно, что возможны три случая: прямая касается полуокружности (то есть проходит через точку D); прямая проходит через одну из точек пересечения полуокружности с гиперболой (то есть через точку A или B); прямая лежит строго выше прямой проходящей через точку C и не строго ниже прямой Рассмотрим все эти три случая.
1) Найдем y координату точки D:
2) Найдем y координату точек A и B:
Раскладываем первое уравнение на множители или решаем как биквадратное
3) Найдем y координату точки C:
Итак, мы получаем такие значения параметра
Количество различных натуральных делителей числа n, допускающего разложение на простые множители
(здесь выражается формулой
В самом деле, любой делитель числа n имеет вид где при этом каждый показатель можно выбрать способом (от 0 до Таким образом, требуется найти наименьшее число n вида (1), для которого
то есть определить соответствующие показатели и простые множители
Покажем, что искомым числом является число
Можно считать (перенумеровав при необходимости простые множители), что показатели в разложении (1) упорядочены по невозрастанию: Кроме того, несложно видеть, что для фиксированного (упорядоченного по невозрастанию) набора показателей среди всех чисел вида (1) наименьшим является число, у которого это первые k простых чисел, взятые в порядке увеличения (см. замечание). Действительно, если то (поскольку и перестановка множителей и позволяет уменьшить искомое число. При этом, очевидно, должны быть задействованы все наименьшие простые множители. Далее, заметим, что число 10 как иначе и так как иначе и
Остается перебрать возможные разложения числа 2020 с отдельным множителем 101:
и сравнить между собой числа
Замечание. С учетом случая, когда несколько показателей равны между собой и соответствующие множители можно менять местами.
Количество различных натуральных делителей числа n, допускающего разложение на простые множители
(здесь выражается формулой
В самом деле, любой делитель числа n имеет вид где при этом каждый показатель можно выбрать способом (от 0 до Таким образом, требуется найти наименьшее число n вида (1), для которого
то есть определить соответствующие показатели и простые множители
Покажем, что искомым числом является число
Можно считать (перенумеровав при необходимости простые множители), что показатели в разложении (1) упорядочены по невозрастанию: Кроме того, несложно видеть, что для фиксированного (упорядоченного по невозрастанию) набора показателей среди всех чисел вида (1) наименьшим является число, у которого это первые k простых чисел, взятые в порядке увеличения (см. замечание). Действительно, если то (поскольку и перестановка множителей и позволяет уменьшить искомое число. При этом, очевидно, должны быть задействованы все наименьшие простые множители. Далее, заметим, что число 10 как иначе и так как иначе и
Остается перебрать возможные разложения числа 2020 с отдельным множителем 101:
и сравнить между собой числа
Замечание. С учетом случая, когда несколько показателей равны между собой и соответствующие множители можно менять местами.
Существуют ли такое натуральное n и такой многочлен P(x) степени n, имеющий n различных действительных корней, что при всех действительных x выполнено равенство
а)
б)
Решение.
а) Для многочлена имеем
б) Из условия следует, что многочлен раскладывается на линейные множители. Пусть
Тогда корнями многочлена являются числа
При этом многочлен
также должен раскладываться на линейные множители, поэтому Множество его корней должно совпадать с множеством корней многочлена
Пусть xm — наибольшее из чисел xk, то есть наибольший из корней многочлена Тогда число является наибольшим из корней многочлена Но так как Следовательно, совпадение множеств корней многочленов и невозможно.
Ответ: а) да; б) нет.
Приведем другое решение п. б.
Если такой многочлен P(x) существует, то он имеет хотя бы один действительный корень. Пусть x0 — наибольший из его корней. Тогда из условия получаем, что
то есть число также является корнем многочлена P(x). Но что противоречит максимальности корня x0. Следовательно, такого многочлена не существует.
Комментарий.
Пользуясь методами решения п. б), можно показать, что множеством корней многочлена P(x), удовлетворяющего при всех действительных x равенству из п. а), может быть только множество {0, 1}. Таким образом, приведённый в решении п. а) пример — единственный возможный.
Какие линейные размеры может иметь прямоугольный параллелепипед, если его объем равен 200 см3, площадь полной поверхности равна 300 см2, а периметр основания равен 50 см?
Решение.
Пусть x1, x2 и x3 — линейные размеры параллелепипеда (в сантиметрах). Тогда система уравнений и может быть решена, например, через разложение для кубического многочлена
как уравнение
которому удовлетворяют все ребра параллелепипеда x1, x2 и x3. Подстановка приводит к квадратному уравнению с корнями и Тогда для каждого из найденных x3 получаем:
1) при
с корнями и
2) при
с корнями и
Ответ: и (с точностью до порядка следования).
Критерии проверки:
Содержание критерия
Оценка
Баллы
Задача решена полностью.
+
10
Решение задачи, содержит верную общую схему
решения, но в результате описки/арифметической
ошибки получен неверный ответ
±
7
Решение задачи, содержит верную общую схему
решения, но найден только один вариант
линейных размеров
+/2
4
Решение в целом неверное или незаконченное, но
содержит формулировку верной системы
уравнений
∓
2
Задача не решена, содержательных продвижений нет
−
0
Задача не решалась
0
0
Ответ: и (с точностью до порядка следования).
Какие линейные размеры может иметь прямоугольный параллелепипед, если его объем равен 240 см3, площадь боковой поверхности равна 220 см2, а сумма длин всех ребер составляет 84 см?
Решение.
Пусть x1, x2 и x3 — линейные размеры параллелепипеда (в сантиметрах). Тогда имеем систему уравнений и Из последних двух уравнений легко выражается x3: Откуда и Последующие подстановки найденного приводят для случая к корням и для случая к корням
и
Ответ: и (с точностью до порядка следования).
Критерии проверки:
Содержание критерия
Оценка
Баллы
Задача решена полностью.
+
10
Решение задачи, содержит верную общую схему
решения, но в результате описки/арифметической
ошибки получен неверный ответ
±
7
Решение задачи, содержит верную общую схему
решения, но найден только один вариант
линейных размеров
+/2
4
Решение в целом неверное или незаконченное, но
содержит формулировку верной системы
уравнений
∓
2
Задача не решена, содержательных продвижений нет
−
0
Задача не решалась
0
0
Ответ: и (с точностью до порядка следования).
Доказать, что при a > 0, b > 0, c > 0 выполняется неравенство
Решение.
Данное неравенство является симметричным относительно переменных a, b, c и поэтому можно считать, что В стандартных обозначениях
неравенство принимает вид:
Теперь имеем:
Ho
Так как то откуда и следует доказываемое неравенство.
если известно, что m, p и q — положительные простые числа.
или 
Следовательно, 
Рассмотрим 
решим его как квадратное уравнение относительно y, получим 
и 
Тогда 
оба множителя целые положительны. Заметим, что 
Подходит разложение 
тогда 
и 
отсюда 
и 
Рассмотрим 
решим его как квадратное уравнение относительно y, получим 
Тогда 
оба множителя целые положительны. Заметим, что 
тогда 
и 
и 
В ответ напишите наименьшее возможное значение x+y.
то получаем четыре возможных решения: 
и 
то первые два решения точно не подходят. Из оставшихся двух выбираем то, в котором x, y натуральные и сумма 
минимальна.
и 
Тогда 
и 
Расставим точки на координатной прямой и найдем необходимые промежутки (см. рис.).
то есть 
Тогда
получаем:
получаем:
получаем:
и 
не пересекаются, то есть решений нет.
для любого натурального k. Оказалось, что
для некоторых натуральных m и n
Найдите m + n.
1 удовлетворяют уравнению
Числа 
и 
и 
Следовательно, минимальное значение 
и 
Следовательно, минимальное значение 
где p — некоторое простое число. 
Полу чаем, что 
а так как 
то 
и 
и 
(см. рисунок). К тому же не стоит забывать про ОДЗ: 
пересекает полуокружность и гиперболу ровно в двух точках в полосе 
Из графика видно, что возможны три случая: прямая касается полуокружности (то есть проходит через точку D); прямая проходит через одну из точек пересечения полуокружности с гиперболой (то есть через точку A или B); прямая лежит строго выше прямой проходящей через точку C и не строго ниже прямой 
Рассмотрим все эти три случая. 
различных натуральных делителей числа n, допускающего разложение на простые множители 
выражается формулой 
где 
при этом каждый показатель 
можно выбрать 
способом (от 0 до 
Таким образом, требуется найти наименьшее число n вида (1), для которого 
и простые множители 
Кроме того, несложно видеть, что для фиксированного (упорядоченного по невозрастанию) набора показателей среди всех чисел вида (1) наименьшим является число, у которого 
это первые k простых чисел, взятые в порядке увеличения (см. замечание). Действительно, если 
то 
(поскольку 
и перестановка множителей 
и 
позволяет уменьшить искомое число. При этом, очевидно, должны быть задействованы все наименьшие простые множители. Далее, заметим, что число 10 как иначе 
и так как иначе 
имеем 
раскладывается на линейные множители. Пусть 
являются числа 
Множество его корней 
должно совпадать с множеством корней многочлена 
является наибольшим из корней многочлена 
Но 
так как 
Следовательно, совпадение множеств корней многочленов 
невозможно.
также является корнем многочлена P(x). Но 
что противоречит максимальности корня x0. Следовательно, такого многочлена не существует.
и 
может быть решена, например, через разложение для кубического многочлена 
приводит к квадратному уравнению 
с корнями 
и 
Тогда для каждого из найденных x3 получаем:
и 
и 
и 
(с точностью до порядка следования).
и 
Из последних двух уравнений легко выражается x3: 
Откуда 
и 
Последующие подстановки найденного приводят для случая 
и 
для случая 
к корням 
и 
и 
(с точностью до порядка следования).
В стандартных обозначениях 
то 
откуда и следует доказываемое неравенство.