РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3568 Добавить в вариант

Решить уравнение в целых положительных числах $2x в квадрате плюс xy минус y в квадрате плюс 3x=107.$

Решение.

Преобразуем исходное уравнение: $2 x в квадрате плюс x y минус y в квадрате плюс 3 x плюс 1=108.$ Рассмотрим $2 x в квадрате плюс x y минус y в квадрате минус 3 x плюс 1=0,$ решим его как квадратное уравнение относительно y, получим $y= минус x минус 1$ и $y=2 x плюс 1.$ Тогда $левая круглая скобка 1 плюс x плюс y правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x минус y плюс 1 правая круглая скобка =108,$ оба множителя целые положительны. Заметим, что $108=2 умножить на 2 умножить на 3 умножить на 3 умножить на 3.$ Подходит разложение $108=54:2,$ тогда $левая круглая скобка 1 плюс x плюс y правая круглая скобка =54$ и $левая круглая скобка 2 x минус y минус 2 правая круглая скобка =2,$ отсюда $x=18$ и $y=35.$

Ответ: $x=18,$ $y=35.$

Олимпиада Газпром, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Алгебра: числа. В целых числах нелинейные уравнения, Методы алгебры. Преобразования выражений, Методы алгебры. Разложение на множители

Спрятать решение · Помощь