РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5167 Добавить в вариант

Доказать, что при a > 0, b > 0, c > 0 выполняется неравенство

$левая круглая скобка дробь: числитель: 4a, знаменатель: b плюс c конец дроби плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 4b, знаменатель: c плюс a конец дроби плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 4c, знаменатель: a плюс b конец дроби плюс 1 правая круглая скобка больше 25.$

Спрятать решение

Решение.

Данное неравенство является симметричным относительно переменных a, b, c и поэтому можно считать, что $a меньше b меньше c .$ В стандартных обозначениях

$\sigma_1=a плюс b плюс c,$ $\sigma_2=a b плюс b c плюс c a,$ $\sigma_3=a b c$

неравенство принимает вид:

$левая круглая скобка \sigma_1 плюс 3 a правая круглая скобка левая круглая скобка \sigma_1 плюс 3 b правая круглая скобка левая круглая скобка \sigma_1 плюс 3 c правая круглая скобка больше 25 левая круглая скобка \sigma_1 минус a правая круглая скобка левая круглая скобка \sigma_1 минус b правая круглая скобка левая круглая скобка \sigma_1 минус c правая круглая скобка .$

Теперь имеем:

$\sigma_1 в кубе плюс 3 \sigma_1 в квадрате левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка плюс 9 \sigma_1 левая круглая скобка a b плюс b c плюс c a правая круглая скобка плюс 27 a b c больше 25 левая круглая скобка \sigma_1 в кубе минус \sigma_1 в квадрате левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка плюс \sigma_1 левая круглая скобка a b плюс b c плюс c a правая круглая скобка минус a b c правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 4 \sigma_1 в кубе плюс 9 \sigma_1 \sigma_2 плюс 27 \sigma_3 больше 25 левая круглая скобка \sigma_1 \sigma_2 минус \sigma_3 правая круглая скобка равносильно \sigma_1 в кубе минус 4 \sigma_1 \sigma_2 плюс 13 \sigma_3 больше 0.$ $\sigma_1 в кубе плюс 3 \sigma_1 в квадрате левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка плюс 9 \sigma_1 левая круглая скобка a b плюс b c плюс c a правая круглая скобка плюс 27 a b c больше 25 левая круглая скобка \sigma_1 в кубе минус \sigma_1 в квадрате левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка плюс \sigma_1 левая круглая скобка a b плюс b c плюс c a правая круглая скобка минус a b c правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 4 \sigma_1 в кубе плюс 9 \sigma_1 \sigma_2 плюс 27 \sigma_3 больше 25 левая круглая скобка \sigma_1 \sigma_2 минус \sigma_3 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно \sigma_1 в кубе минус 4 \sigma_1 \sigma_2 плюс 13 \sigma_3 больше 0.$

$\sigma_1 в кубе минус 4 \sigma_1 \sigma_2 плюс 13 \sigma_2= левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате плюс b в квадрате плюс c в квадрате минус 2 a b минус минус 2 a c минус 2 b c правая круглая скобка плюс 13 a b c=$
$= левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка a плюс b минус c правая круглая скобка в квадрате минус 4 a b правая круглая скобка плюс 13 a b c=$
$= левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка в квадрате минус 4 a b левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка плюс 9 a b c= левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс b минус c правая круглая скобка в квадрате плюс a b левая круглая скобка 9 c минус 4 a минус 4 b правая круглая скобка .$ $\sigma_1 в кубе минус 4 \sigma_1 \sigma_2 плюс 13 \sigma_2= левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате плюс b в квадрате плюс c в квадрате минус 2 a b минус минус 2 a c минус 2 b c правая круглая скобка плюс 13 a b c=$
$= левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка a плюс b минус c правая круглая скобка в квадрате минус 4 a b правая круглая скобка плюс 13 a b c=$
$= левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка в квадрате минус 4 a b левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка плюс 9 a b c=$
$= левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс b минус c правая круглая скобка в квадрате плюс a b левая круглая скобка 9 c минус 4 a минус 4 b правая круглая скобка .$ $\sigma_1 в кубе минус 4 \sigma_1 \sigma_2 плюс 13 \sigma_2=$
$= левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате плюс b в квадрате плюс c в квадрате минус 2 a b минус минус 2 a c минус 2 b c правая круглая скобка плюс 13 a b c=$
$= левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка a плюс b минус c правая круглая скобка в квадрате минус 4 a b правая круглая скобка плюс 13 a b c=$
$= левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка в квадрате минус 4 a b левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка плюс 9 a b c=$
$= левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс b минус c правая круглая скобка в квадрате плюс a b левая круглая скобка 9 c минус 4 a минус 4 b правая круглая скобка .$

Так как $a меньше или равно b меньше или равно c,$ то $9 c минус 4 a минус 4 b больше 0,$ откуда и следует доказываемое неравенство.

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра. Неравенства с буквами, Методы алгебры. Разложение на множители, Методы алгебры. Симметризация выражений

Спрятать решение · Помощь