РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1309 Добавить в вариант

Решите неравенство

$x в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка минус 2 меньше или равно левая круглая скобка корень 3 степени из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате x правая круглая скобка минус 2 умножить на x в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка корень 3 степени из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

Перепишем неравенство в виде

$3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка в квадрате x правая круглая скобка минус 2 минус 3 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка в квадрате x правая круглая скобка плюс 2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка в квадрате x правая круглая скобка меньше или равно 0 .$

Сгруппировав первый член с третьим, а второй  — с четвёртым, раскладываем левую часть неравенства на множители:

$левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка в квадрате x правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 3 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка в квадрате x правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 0.$

Далее возможны два случая:

$а правая круглая скобка система выражений 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка в квадрате x правая круглая скобка минус 2 больше или равно 0, 1 минус 3 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка в квадрате x меньше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка в квадрате x больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 2, логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка в квадрате x больше или равно 0 конец системы . равносильно совокупность выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x больше или равно корень из: начало аргумента: логарифм по основанию левая круглая скобка 3 конец аргумента 2 правая круглая скобка , логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x \leqslant минус корень из: начало аргумента: логарифм по основанию левая круглая скобка 3 конец аргумента 2 правая круглая скобка конец совокупности . равносильно совокупность выражений x больше или равно 3 корень из: начало аргумента: логарифм по основанию левая круглая скобка 3 конец аргумента 2 правая круглая скобка , x меньше или равно 3 в степени левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: логарифм по основанию левая круглая скобка 3 конец аргумента 2 правая круглая скобка правая круглая скобка ; конец совокупности .$

$б правая круглая скобка система выражений 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка в квадрате x правая круглая скобка минус 2 меньше или равно 0, 1 минус 3 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка в квадрате x больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка в квадрате x меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 2, логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка в квадрате x меньше или равно 0 конец системы . равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x=0 равносильно x=1 .$

Ответ: $x принадлежит левая круглая скобка 0; 3 в степени левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: логарифм по основанию 3 2 конец аргумента правая круглая скобка правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 3 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: логарифм по основанию 3 2 конец аргумента правая круглая скобка ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Грубая ошибка в работе с логарифмами (неверная формула; не рассмотрены случаи основание > 1, основание < 1 для неравенства и т. п. — 0 баллов за все дальнейшие действия (или за рассматриваемый случай).

Получено верное неравенство относительно $t= логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x$ (или $t= логарифм по основанию левая круглая скобка x правая круглая скобка 3$ и т. д.) — 2 балла.

Получено верное решение этого неравенства относительно t — 2 балла.

Совершен верный возврат к переменной x — 2 балла. (Если при этом не учтено ОДЗ, то эти 2 балла не ставятся!)

При другом способе решения. Левая часть разложена на множители $A B больше или равно 0$  — 2 балла.

За рассмотрение каждого из случаев $A больше или равно 0,$ $B больше или равно 0$ или $A меньше или равно 0,$ $B меньше или равно 0$  — по 2 балла.

Если при этом в одном из случаев нестрогие неравенства заменены строгими (что, например, может привести к потере изолированной точки), то снять 1 балл.

Аналоги к заданию № 1309: 1316 Все

Олимпиада школьников Физтех, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Неравенства комбинированные, Методы алгебры. Разложение на множители

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь