сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Ре­ши­те си­сте­му  си­сте­ма вы­ра­же­ний синус x ко­си­нус y=0, ко­си­нус x синус y= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец си­сте­мы .

б)  Су­ще­ству­ет ли мно­го­член p левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в сте­пе­ни 9 плюс a_1x в сте­пе­ни 8 плюс ... плюс a_9, име­ю­щий де­вять раз­лич­ных дей­стви­тель­ных кор­ней, все ко­эф­фи­ци­ен­ты ai ко­то­ро­го по мо­ду­лю не пре­вос­хо­дят 0,001?

в)  До­ка­жи­те не­ра­вен­ство \ln2 плюс \ln3 плюс \ln5 плюс \ln2\ln3\ln5 мень­ше \ln2\ln3 плюс \ln3\ln5 плюс \ln5\ln2 плюс 1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Не­ра­вен­ство при­во­дит­ся к виду  левая круг­лая скоб­ка 1 минус a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка c минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0, где a=\ln2 мень­ше 1, b=\ln3 боль­ше 1, c=\ln5 боль­ше 1, по­сколь­ку 2 мень­ше e мень­ше 3 мень­ше 5. Из пер­во­го урав­не­ния по­лу­ча­ем  синус x=0 или  ко­си­нус y=0. Раз­бе­рем два слу­чая.

Если  синус x=0, то x=2 Пи k или x= Пи плюс 2 Пи k, где k при­над­ле­жит Z .

При x=2 Пи k по­лу­чим  ко­си­нус x=1 и вто­рое урав­не­ние при­мет вид  синус y= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , т. е. y= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n или y= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n, n при­над­ле­жит Z .

При x= Пи плюс 2 Пи k по­лу­чим  ко­си­нус x= минус 1 и вто­рое урав­не­ние при­мет вид  синус y= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , y= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n или y= минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n, n при­над­ле­жит Z .

Если  ко­си­нус y=0, то y= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n или y= дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n, n при­над­ле­жит Z .

При y= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n по­лу­чим  синус y=1 и вто­рое урав­не­ние при­мет вид  ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , где x=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k при­над­ле­жит Z .

При y= дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n по­лу­чим  синус y= минус 1 и вто­рое урав­не­ние при­мет вид  ко­си­нус x= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , где x=\pm дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k при­над­ле­жит Z .

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 Пи k; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n пра­вая круг­лая скоб­ка , левая круг­лая скоб­ка 2 Пи k; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n пра­вая круг­лая скоб­ка , левая круг­лая скоб­ка Пи плюс 2 Пи k; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n пра­вая круг­лая скоб­ка , левая круг­лая скоб­ка Пи плюс 2 Пи k; минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n пра­вая круг­лая скоб­ка , левая круг­лая скоб­ка \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n пра­вая круг­лая скоб­ка ,

 

\left левая круг­лая скоб­ка \pm дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n пра­вая круг­лая скоб­ка : k, n при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

 

б)  Дей­стви­тель­но, по­ло­жим p левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка x минус x_1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус x_2 пра­вая круг­лая скоб­ка \ldots левая круг­лая скоб­ка x минус x_9 пра­вая круг­лая скоб­ка . Ясно, что если корни xi до­ста­точ­но малы, то и ко­эф­фи­ци­ен­ты мно­го­чле­на p левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка малы. Можно на­пи­сать явные оцен­ки, но лучше про­ве­сти сле­ду­ю­щее рас­суж­де­ние.

Пусть

p левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \ldots левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Ко­эф­фи­ци­ен­ты этого мно­го­чле­на имеют вид a_i= дробь: чис­ли­тель: c_i, зна­ме­на­тель: n в сте­пе­ни i конец дроби . По­сколь­ку a_i\to0 при n\to бес­ко­неч­ность , то най­дет­ся такое на­ту­раль­ное число n, что |a_i| мень­ше 0,001, i  =  1, 2, ..., 9.

 

Ответ: Да, су­ще­ству­ет.

 

в)  Обо­зна­чим x= на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2, y= на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3, z= на­ту­раль­ный ло­га­рифм 5. Тогда не­ра­вен­ство можно за­пи­сать в виде

x плюс y плюс z плюс xyz минус xy минус xz минус yz минус 1 мень­ше 0 рав­но­силь­но x левая круг­лая скоб­ка 1 минус y минус z плюс yz пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка 1 минус y минус z плюс yz пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус y минус z плюс yz пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0 рав­но­силь­но  левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка y минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка z минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0.

Что верно, по­сколь­ку  на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2 мень­ше 1 мень­ше на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3 мень­ше на­ту­раль­ный ло­га­рифм 5, по­это­му x минус 1 мень­ше 0, y минус 1 боль­ше 0, и z минус 1 боль­ше 0.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

Мак­си­мум за сюжет 12 бал­лов. При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.