сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство \lg в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \geqslant\lg левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \lg левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2\lg в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Ре­ши­те урав­не­ние 4 ко­си­нус x ко­си­нус 2x ко­си­нус 4x= ко­си­нус 7x.

 

в)  Най­ди­те все b, при ко­то­рых си­сте­ма не­ра­венств

 си­сте­ма вы­ра­же­ний y\geqslant левая круг­лая скоб­ка x минус b пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те ,x\geqslant левая круг­лая скоб­ка y минус b пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец си­сте­мы .

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Об­ласть опре­де­ле­ния не­ра­вен­ства  — луч  левая круг­лая скоб­ка 1; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . По­сколь­ку a в квад­ра­те минус ab минус 2b в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка a минус 2b пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка , то

 \eqalign{ \lg в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус \lg левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \lg левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2\lg в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка \lg левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2\lg левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка \lg левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс \lg левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =

 = левая круг­лая скоб­ка \lg левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус \lg левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка \lg левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \geqslant0, }

зна­чит,

 си­сте­ма вы­ра­же­ний x плюс 1\geqslant левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те ,x в квад­ра­те минус 1\geqslant1 конец си­сте­мы . или си­сте­ма вы­ра­же­ний x плюс 1\leqslant левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те ,x в квад­ра­те минус 1\leqslant1. конец си­сте­мы .

Ре­ше­ни­ем пер­вой си­сте­мы не­ра­венств яв­ля­ет­ся от­ре­зок  левая квад­рат­ная скоб­ка ко­рень из 2 ; 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , ре­ше­ние вто­рой  — от­ре­зок  левая квад­рат­ная скоб­ка минус ко­рень из 2 ; 0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка   — не лежит в об­ла­сти опре­де­ле­ния ис­ход­но­го не­ра­вен­ства.

 

Ответ:  левая квад­рат­ная скоб­ка ко­рень из 2 ; 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

б)  Вы­ра­же­ние 4 ко­си­нус x ко­си­нус 2x ко­си­нус 4x минус ко­си­нус 7x при по­мо­щи пре­об­ра­зо­ва­ния про­из­ве­де­ния ко­си­ну­сов в сумму и на­о­бо­рот может быть при­ве­де­но к виду  ко­си­нус 3x левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , от­ку­да  ко­си­нус 3x=0 или  ко­си­нус 2x= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i6 плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; \pm дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i3 плюс Пи k : k при­над­ле­жит \Bbb Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

 

в)  Пер­вое из не­ра­венств си­сте­мы за­да­ет мно­же­ство точек, ле­жа­щих не ниже па­ра­бо­лы y= левая круг­лая скоб­ка x минус b пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , вто­рое  — мно­же­ство точек, ле­жа­щих, не левее сим­мет­рич­ной ей от­но­си­тель­но пря­мой y=x па­ра­бо­лы x= левая круг­лая скоб­ка y минус b пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те . Ясно, что эти мно­же­ства имеют един­ствен­ную общую точку тогда и толь­ко тогда, когда пер­вая па­ра­бо­ла ка­са­ет­ся пря­мой y=x, по­сколь­ку тогда вто­рая па­ра­бо­ла также ка­са­ет­ся этой пря­мой, при­чем в той же самой точке. Па­ра­бо­ла y= левая круг­лая скоб­ка x минус b пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те ка­са­ет­ся пря­мой y=x, если квад­рат­ное урав­не­ние x= левая круг­лая скоб­ка x минус b пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те имеет един­ствен­ное ре­ше­ние. При­рав­няв нулю дис­кри­ми­нант этого урав­не­ния, по­лу­чим ответ.

 

Ответ: b= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

Мак­си­мум за сюжет 12 бал­лов. При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.