а) Решите неравенство
б) Решите уравнение
в) Найдите все b, при которых система неравенств
имеет единственное решение.
Решение. а) Область определения неравенства — луч Поскольку то
значит,
Решением первой системы неравенств является отрезок решение второй — отрезок — не лежит в области определения исходного неравенства.
Ответ:
б) Выражение при помощи преобразования произведения косинусов в сумму и наоборот может быть приведено к виду откуда или
Ответ:
в) Первое из неравенств системы задает множество точек, лежащих не ниже параболы второе — множество точек, лежащих, не левее симметричной ей относительно прямой параболы Ясно, что эти множества имеют единственную общую точку тогда и только тогда, когда первая парабола касается прямой поскольку тогда вторая парабола также касается этой прямой, причем в той же самой точке. Парабола касается прямой если квадратное уравнение имеет единственное решение. Приравняв нулю дискриминант этого уравнения, получим ответ.
Ответ:
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
---|---|
Верное и полное выполнение задания | 3 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
Остальные случаи | 0 |
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |