РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1371 Добавить в вариант

Решите систему уравнений

$система выражений x в квадрате y минус xy в квадрате минус 3x плюс 3y плюс 1=0,x в кубе минус xy в кубе минус 3x в квадрате плюс 3y в квадрате минус 3=0. конец системы .$

Спрятать решение

Решение.

Данная система равносильна следующей:

$система выражений x y левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка минус 3 левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка плюс 1 = 0 , x y левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка минус y в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка правая круглая скобка минус 3 левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка минус y в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс 3 = 0 \endarray равносильно левая фигурная скобка \begin{align левая круглая скобка x y минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка = минус 1, левая круглая скобка x y минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка = минус 3. конец системы .$

Разделив почленно второе уравнение последней системы на первое, получаем $x плюс y=3,$ откуда $y= минус x плюс 3.$ Подставляем это в первое уравнение:

$левая круглая скобка минус x в квадрате плюс 3 x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x минус 3 правая круглая скобка = минус 1,$

$2 x в кубе минус 9 x в квадрате плюс 15 x минус 10=0 .$

Подбором находим целочисленный корень этого уравнения $минус x=2.$ Выделив множитель $левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка ,$ получаем

$левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x в квадрате минус 5 x плюс 5 правая круглая скобка =0.$

Значит, уравнение имеет единственный корень $x=2.$ Тогда $y=1,$ и пара чисел (2; 1) является единственным решением системы.

Ответ: {(2, 1)}.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Получено линейное соотношение между переменными (в билете $29 минус y=x плюс 3,$ в билете 30 — $x плюс y=3,$ в билете 31 — $y=x плюс 2,$ в билете 32 — $x плюс y=5 правая круглая скобка$  — 3 балла.

Решено кубическое уравнение — 2 балла.

Получено решение системы — 1 балл.

Аналоги к заданию № 1365: 1371 Все

Олимпиада школьников Физтех, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Системы нелинейный уравнений, Методы алгебры. Преобразования выражений, Методы алгебры. Разложение на множители

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь