сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Ре­ши­те си­сте­му  си­сте­ма вы­ра­же­ний синус x синус y=0, ко­си­нус x ко­си­нус y= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец си­сте­мы .

б)  Су­ще­ству­ет ли мно­го­член p левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в сте­пе­ни 8 плюс a_1x в сте­пе­ни 7 плюс ... плюс a_8, име­ю­щий во­семь раз­лич­ных дей­стви­тель­ных кор­ней, все ко­эф­фи­ци­ен­ты ai ко­то­ро­го по мо­ду­лю не пре­вос­хо­дят 0,001?

в)  До­ка­жи­те не­ра­вен­ство \ln3 плюс \ln4 плюс \ln5 плюс \ln3\ln4\ln5 боль­ше \ln3\ln4 плюс \ln4\ln5 плюс \ln5\ln3 плюс 1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Из пер­во­го урав­не­ния по­лу­ча­ем  синус x=0 или  синус y=0. Раз­бе­рем два слу­чая.

Если  синус x=0, то x=2 Пи k или x= Пи плюс 2 Пи k, k при­над­ле­жит Z . При x=2 Пи k по­лу­чим  ко­си­нус x=1 и вто­рое урав­не­ние при­мет вид  ко­си­нус y= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , от­сю­да y=\pm дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n. При x= Пи плюс 2 Пи k по­лу­чим  ко­си­нус x= минус 1 и вто­рое урав­не­ние при­мет вид  ко­си­нус y= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , т. е. y=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n.

Если  синус y=0, то можно по­ме­нять мыс­лен­но ме­ста­ми x и y и по­лу­чить преды­ду­щий слу­чай.

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 Пи k, \pm дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n пра­вая круг­лая скоб­ка ; левая круг­лая скоб­ка Пи плюс 2 Пи k, \pm дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n пра­вая круг­лая скоб­ка ; левая круг­лая скоб­ка \pm дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i3 плюс 2 Пи k, Пи плюс 2 Пи n пра­вая круг­лая скоб­ка ; левая круг­лая скоб­ка \pm дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, 2 Пи n пра­вая круг­лая скоб­ка : k, n при­над­ле­жит \Bbb Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

 

б)  Да, су­ще­ству­ет. Рас­смот­рим мно­го­член

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \ldots левая круг­лая скоб­ка x минус 8 пра­вая круг­лая скоб­ка =x в сте­пе­ни 8 плюс b_1x в сте­пе­ни 7 плюс \ldots b_8.

Пусть A=\max\absb_i умно­жить на 1000 и n боль­ше A. Рас­смот­рим тогда мно­го­член

 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: n в сте­пе­ни 8 конец дроби f левая круг­лая скоб­ка nx пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: n в сте­пе­ни 8 конец дроби левая круг­лая скоб­ка n в сте­пе­ни 8 x в сте­пе­ни 8 плюс b_1n в сте­пе­ни 7 x в сте­пе­ни 7 плюс \ldots плюс b_8 пра­вая круг­лая скоб­ка =x в сте­пе­ни 8 плюс дробь: чис­ли­тель: b_1, зна­ме­на­тель: n конец дроби x в сте­пе­ни 7 плюс дробь: чис­ли­тель: b_2, зна­ме­на­тель: n в квад­ра­те конец дроби x в сте­пе­ни 6 плюс \ldots плюс дробь: чис­ли­тель: b_8, зна­ме­на­тель: n в сте­пе­ни 8 конец дроби .

Этот мно­го­член имеет корни x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: n конец дроби , x= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: n конец дроби , \ldots,  дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: n конец дроби и его ко­эф­фи­ци­ен­ты не пре­вос­хо­дят  дробь: чис­ли­тель: b_k, зна­ме­на­тель: n конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: A, зна­ме­на­тель: 1000n конец дроби мень­ше 0,001.

в)  Обо­зна­чим x= на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3, y= на­ту­раль­ный ло­га­рифм 4, z= на­ту­раль­ный ло­га­рифм 5. Тогда не­ра­вен­ство можно за­пи­сать в виде

x плюс y плюс z плюс xyz минус xy минус xz минус yz минус 1 боль­ше 0 рав­но­силь­но x левая круг­лая скоб­ка 1 минус y минус z плюс yz пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка 1 минус y минус z плюс yz пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус y минус z плюс yz пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 рав­но­силь­но  левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка y минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка z минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0.

Что верно, по­сколь­ку 1 мень­ше на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3 мень­ше на­ту­раль­ный ло­га­рифм 4 мень­ше на­ту­раль­ный ло­га­рифм 5, по­это­му x минус 1 боль­ше 0, y минус 1 боль­ше 0 и z минус 1 боль­ше 0.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

Мак­си­мум за сюжет 12 бал­лов. При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.