Всего: 189 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
а) Решите неравенство 
б) Найдите все решения уравнения 
лежащие в отрезке 
в) Решите уравнение 
а) Решение стандартно, геометрическая интерпретация — на рисунке.
Ответ: 
б) После разложения на множители получаем, что
или 
откуда 
при 
Осталось определить те решения, которые попадают в указанный отрезок, для чего удобно рассмотреть график функции 
при 
(см. рисунок).
Ответ: 
при любых a, 
при 
при 
в) Так как
то 
Это уравнение имеет очевидное решение 
осталось доказать, что других решений у него нет. Заметим, что в обеих частях этого уравнения стоят возрастающие функции, поэтому прямая ссылка на монотонность недоказательна, однако ясно (доказательство — далее), что 
«растет быстрее», чем 
Действительно,
при 
значит, функция 
возрастает на 
и более одного нуля не имеет. Если 
Ответ: 1.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
при любых a, при при 1.а) Решите неравенство 
б) Найдите все решения уравнения 
лежащие в отрезке 
в) Решите уравнение 
а) Преобразуем неравенство 
т. е. 
При 
получаем неравенство 
или 
У многочлена в левой части есть корень поэтому многочлен в левой части раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его
Оба множителя неотрицательны при 
поэтому подходит только 
При 
получаем неравенство 
то есть 
или 
Второй множитель всегда положителен, значит, 
Окончательно 
Ответ:
б) Преобразуем уравнение
Второй множитель дает
Если же нулю равен первый множитель, то
Функция 
на отрезке 
убывает, принимая по одному разу все значения из промежутка 
а на промежутке 
возрастает, принимая по одному разу все значения из промежутка 
Теперь можно написать ответ. При 
и при 
решений нет. При 
получим 
При 
получим 
поэтому уравнение имеет два корня, а именно 
и 
откуда 
При 
получим 
поэтому уравнение имеет один корень, а 
Осталось добавить корень 
везде, где его еще нет и можно написать окончательный ответ. При одно решение При одно решение При три решения 
и При 
два решения
(не сошлось с ответом, стоит проверить!)
Ответ: 
при любом b, 
при 
при 
в) Преобразуем уравнение 
или 
Поделив на 
получим 
откуда 
Функция в левой части уравнения возрастает, а в правой — убывает, поэтому их графики пересекутся не более одного раза. Один корень можно угадать, это
Ответ:
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
при любом b, при при а) Найдите наименьшее положительное решение уравнения 
б) Найдите число решений уравнения 
в) Докажите, что уравнение 
имеет ровно два решения.
г) Найдите наибольшее по абсолютной величине значение выражения 
при 
а) Замена 
приводит к уравнению 
откуда 
Корнями последнего уравнения являются числа 2 и 
Поскольку функция 
возрастающая, а 
то отсюда и следует ответ.
Ответ: 
б) Два решения при 
одно — при 
(см. рис.).
в) Так как
то графики правой и левой частей данного уравнения выглядят так, как показано на рисунке. Строгое доказательство приведено в Дополнении.
Ответ: два корня.
г) Если 
тогда 
отсюда
Ответ: 576.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
два корня. 576.а) Найдите наименьшее положительное решение уравнения 
б) Найдите число решений уравнения 
в) Докажите, что уравнение 
имеет ровно два решения.
г) Докажите, что выражение 
принимает любое действительное значение тогда и только тогда, когда только одно из чисел a, b лежит между c и d.
а) Обозначим 
тогда
и 
Уравнение примет вид
У многочлена в левой части есть корень 
поэтому многочлен в левой части раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его 
Значит, либо 
либо 
Ясно, что каждое свое положительное значение 
впервые при положительном x принимает на 
— возрастающая функция). Докажем, что
что очевидно, на самом деле 
Значит, наименьший положительный корень уравнения 
Ответ: 
б) Запишем уравнение в виде 
и изобразим графики обеих частей.
Правая часть дает график, похожий на 
только отраженный относительно вертикальной оси, сдвинутый вправо на 5 и вниз на −2.
Левая часть дает прямую, проходящую через начало координат. При 
очевидно есть одна общая точка, как и при 
При 
уменьшение a поворачивает прямую вокруг начала координат. При 
будет два корня — один при отрицательных x, второй при положительных.
При дальнейшем уменьшении a отрицательный корень будет всегда, а положительный исчезнет после того, как прямая пройдет через начальную точку графика 
и 
Это случится когда 
или 
Итак, получаем ответ. При 
—
Ответ: два решения при 
одно — при 
в) Перепишем уравнение в виде 
Заметим, что при 
левая часть равна
при 
левая часть равна
при 
левая часть равна 
Отсюда по непрерывности 
и 
есть корни. Итак, корней не менее двух.
Докажем, что корней не больше двух. Как известно, между двумя корнями непрерывно дифференцируемой функции всегда есть корень ее производной (это следствие теоремы Ролля), поэтому если корней больше двух, то у производной больше одного корня. Но производная равна
Итак, требуется найти условие, при котором для любого числа α существует решение квадратного уравнения
или
(случай 
следует рассмотреть отдельно). Преобразуем дискриминант этого квадратного уравнения:
Положим для краткости
и
Тогда
и 
Квадратное уравнение (относительно x) имеет решение тогда и только тогда, когда при всех α верно неравенство 
для чего необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратичного относительно α выражения 
был не положителен. Проделанные вычисления показывают, что последний дискриминант равен
Для завершения доказательства осталось проверить, что неравенство
имеет место, когда одно из чисел a, b лежит между c и d.
г) Будем считать, что 
По условию, уравнение 
должно быть разрешимо для любого k. Преобразуем это уравнение 
получим 
При 
уравнение сводится к 
то есть к 
Это уравнение имеет корни всегда, кроме возможно случая, когда 
что невозможно, если ровно одно из чисел a и b лежит между c и d (например, если 
то 
аналогично разбираются и другие варианты), а мы ниже установим, что это условие выполнено.
При прочих k получаем квадратное уравнение
Его дискриминант должен быть неотрицателен. Вычислим его:
Для того, чтобы это выражение было всегда неотрицательно (теоретически кроме 
но если квадратный трехчлен неотрицателен везде, кроме одной точки, то он неотрицателен и в ней), необходимо и достаточно чтобы старший коэффициент этого квадратного трехчлена от k был положителен (это так) и его дискриминант был не положителен. Вычислим его:
Равенство нулю невозможно, поскольку a, b, c, d различны. Значит, на самом деле это выражение меньше нуля, откуда 
и 
имеют различные знаки. Но выражение 
отрицательно при 
и отрицательно при 
и 
значит, одно из чисел a и b лежит между c и d, а другое не лежит.
Обратно. Пусть числа расположены именно так. Тогда 
поэтому дискриминант трехчлена
не положителен, поэтому его значения всегда неотрицательны и трехчлен
всегда имеет корни, кроме того при уравнение 
разрешимо. Значит, функция действительно принимает все значения.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
два решения при одно — при а) Найдите все целые k, при которых разрешимо уравнение
б) Найдите все целые решения уравнения 
в) Найдите все натуральные решения уравнения
а) Не следует пугаться присутствующих в условии обратных тригонометрических функций. Поскольку 
то после замены 
получим уравнение 
Полученное уравнение разрешимо, если число 
входит в множество значений функции 
Для его нахождения можно стандартным образом исследовать функцию при помощи производной, а можно воспользоваться оценками
(заметим, что эти неравенства обращаются в равенства, соответственно, при 
или 
и 
). Следовательно, множеством значений функции f является отрезок 
Значит, решение исходного уравнения существует тогда и только тогда, когда 
откуда и получаем ответ.
Ответ: 
б) Из равенства 
получаем, что 
откуда следует, что число 
должно быть полным квадратом, 
Аналогично, 
причем 
Ответ: 
в) Докажите вначале следующее утверждение.
Лемма. Если 
и 
то 
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Решите неравенство 
б) Найдите все a, при которых уравнение 
не имеет решений на отрезке 
в) Найдите наименьшее расстояние между диагональю прямоугольного параллелепипеда с ребрами
г) Найдите наибольшую площадь четырехугольника, длины последовательных сторон которого равны
а) Вместо того, чтобы решать иррациональное неравенство путем двукратного возведения в квадрат, можно поступить следующим образом. Пусть 
Поскольку на луче 
функции 
и 
— убывающие, то и функция f убывает на нем. Аналогично, f возрастает на луче 
Далее, 
а 
Таким образом, 
только при 
Ответ: 
б) Имеем:
тогда и только тогда, когда 
или 
т. е. когда число а является значением на отрезке 
(при некотором 
) одной из функций 
или 
Графики этих функций изображены на рисунке, откуда и следует ответ.
Ответ: 
в) Подчеркнем прежде всего, что основную часть решения данной задачи составляет геометрическое рассуждение. Именно, требуется доказать, что искомым расстоянием между диагональю BD грани ABCD и диагональю AC1 параллелепипеда является длина перпендикуляра, опущенного на AC1 из точки K — центра ABCD (см. рисунок). Для этого достаточно доказать, что прямая KP, которая по построению перпендикулярна AC1 также перпендикулярна и BD. Действительно, так как диагонали AC и BD и прямые CC1 и BD перпендикулярны между собой, то прямая BD перпендикулярна плоскости (ACC1), значит, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в частности, и прямой KP. Само вычисление чрезвычайно просто:
Заметим, наконец, что если длины ребер параллелепипеда различны, то общий перпендикуляр к BD и AC1 уже не будет пересекать BD в его середине. В этом случае проще всего использовать методы аналитической геометрии, чтобы получить следующую общую формулу
Ответ: 
г) 
— площадь трапеции. Пусть d — диагональ четырехугольника. Тогда 
так что
Прямое дифференцирование показывает, что эта функция достигает своего наибольшего значение при 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Решите неравенство 
б) Найдите все a, при которых уравнение 
имеет решения на отрезке 
в) Найдите наименьшее расстояние между диагональю прямоугольного параллелепипеда с ребрами 4, 2, 4 см и не пересекающей ее диагональю его квадратной грани.
г) Найдите наибольшую площадь четырехугольника, длины последовательных сторон которого равны 2, 3, 4, 3 см.
а) Для начала найдем ОДЗ неравенства
Значит ОДЗ неравенства это 
При 
получаем
поэтому неравенство верно. При 
функция
возрастает и при этом 
Значит, подходят все и не подходят 
Ответ: 
б) Ясно, что нужно просто найти наименьший положительный корень этого уравнения и взять a не меньшие этого корня. Решая уравнение, получим 
где 
решим
Отсюда сразу видно, что первые корни определены только при 
а вторые — только при 
Кроме того, оба корня с минусом перед радикалом сразу отрицательны и их можно не учитывать, поскольку 
получим 
или 
Далее, ясно, что при меньших k получатся меньшие значения этих выражений, поэтому достаточно взять наименьшие k и сравнить результаты между собой. Сравним
или 
или 
Поскольку
наименьший корень равен 
Ответ: 
в) Пусть этот параллелепипед это ABCDA1B1C1D1, причем AB = AD = 4, AA1 = 2. Будем искать расстояние между AC1 и BD.
Заметим сразу, что прямые AC1 и BD перпендикулярны по теореме о трех перпендикулярах (проекция AC1 на ABCD это AC, а диагонали квадрата перпендикулярны). Пусть O — середина BD. Опустим перпендикуляр из O на AC1. Это и будет искомое расстояние между прямыми. В самом деле, этот отрезок будет перпендикулярен AC1 по построению, а его проекция будет лежать на диагонали AC (поскольку он лежит в плоскости ACC1A1), поэтому проекция (а значит и он сам) будет перпендикулярна BD.
Итак, можно вычислять ответ
Ответ: 
г) Рассмотрим четырехугольник ABCD, 
Пусть, далее, 
По неравенству треугольника получим 
и 
и 
откуда 
Ясно, что любое такое x подходит — оба треугольника ABC и ADC удается построить и склеить по стороне AC. Применим тогда к каждому из них формулу Герона, получим
Обозначим теперь 
(поскольку функция 
монотонна при 
). Тогда нам нужно будет найти наибольшее значение функции 
при 
Возьмем ее производную
Поэтому знак производной совпадает со знаком выражения 
которое очевидно убывает. Значит, нужно найти его корень 
и тогда на промежутке 
производная будет положительна (а функция возрастать), а на промежутке 
производная будет отрицательна (а функция убывать), поэтому наибольшее значение функции будет при 
Решим уравнение
Значит нужно выбрать 
и x — корень уравнения 
и получить площадь
На самом деле четырехугольник наибольшей площади с данными сторонами — вписанный. В нашем случае на его, роль, очевидно, подойдет равнобедренная трапеция.
Ответ: 
— площадь трапеции.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
— площадь трапеции.а) Существует ли геометрическая прогрессия, среди членов которой имеются числа 3, 7 и 10?
б) Решите уравнение 
(здесь 
— это целая часть числа, т. е. наибольшее целое число, его не превосходящее).
в) Найдите количество лежащих на кривой 
точек плоскости, координаты которых суть целые числа.
г) Два шахматиста играют матч до первой победы. Известно, что во встречах друг с другом каждый из них, играя белыми фигурами, побеждает с вероятностью 
а проигрывает с вероятностью 
(тем самым с вероятностью 
в каждой из партий фиксируется ничья). Если в 80 партиях матча будет зафиксирована ничья, то для определения победителя кидают жребий. Оцените (с разумной точностью) шансы на выигрыш того игрока, с хода которого начнется этот матч.
а) Существует ли геометрическая прогрессия, среди членов a которой имеются числа 3, 7 и 10?
Допустим, что такая прогрессия есть. Будем считать ее возрастающей (иначе перепишем несколько ее первых членов, среди которых есть 3, 7, 10, в обратном порядке). Пусть ее первый член равен b, а знаменатель равен q, тогда при некоторых 
получим 
причем 
Из первых двух уравнений получаем 
а из последних двух 
Но при возведении рационального числа q (записанного в виде несократимой дроби) в натуральную степень получаются снова несократимые дроби, знаменатели которых — степени изначального знаменателя. А числа 3 и 7 не являются степенями одного и того же натурального числа.
б) Решите уравнение (здесь [.] — это целая часть числа, т. е. наибольшее целое число, его не превосходящее).
Ясно, что 
поскольку 
Поэтому левая часть может принимать только значения −2, −1, 0, 1, 2. Решим все полученные уравнения-следствия, а потом проверим, для каких из их корней целая часть оказывается правильной. Во всех вариантах ниже 
Найдем
Тогда
что равно −2 при выборе знака минус. Значит, нужно, чтобы 
было нечетным или, что то же, k было нечетным, 
тогда
Тогда
или
что равно −2 при выборе знака минус и равно 1 при выборе знака плюс. Значит, получить −1 нельзя и таких решений не будет. Найдем
Тогда
что равно 0 при четных k и равно 
при нечетном k. Значит, нужно, чтобы k было четным 
получим
Тогда
или
что равно 1 при выборе знака плюс. Поэтому надо выбирать нечетные k для первого случая и четные для второго. Найдем
Тогда
что равно −2 при выборе знака минуса равно 1 при выборе знака плюс . Значит, получить 2 нельзя и таких решений не будет.
Окончательно
в) Найдите количество лежащих на кривой точек плоскости, координаты которых суть целые числа.
Запишем уравнение в виде 
откуда видно, что 
и 
—
что четно, поэтому и сами они оба четны (или оба нечетны, но тогда и их произведение было бы нечетно). Обозначая 
и 
получим 
причем по любым целым a и b можно однозначно построить 
и 
которые подойдут в изначальное уравнение.
Осталось выяснить, сколько всего целых делителей у числа 
Все они имеют вид 
где 
и l =0, 1, 2, 3, 4, 5, что дает 
варианта для a и каждый из них однозначно определит b.
г) Два шахматиста играют матч до первой победы. Известно, что во встречах друг с другом каждый из них, играя белыми фигурами, побеждает с вероятностью а проигрывает с вероятностью (тем самым с вероятностью в каждой из партий фиксируется ничья). Если в 80 партиях матча будет зафиксирована ничья, то для определения победителя кидают жребий. Оцените (с разумной точностью) шансы на выигрыш того игрока, с хода которого начнется этот матч.
Первый игрок может выиграть в следующих случаях:
1) Выиграть первую партию. Вероятность этого события равна 
2) Сыграть первую партию вничью и выиграть вторую. Вероятность этого события равна 
3) Сыграть вничью первые две партии и выиграть третью. Вероятность этого события равна 
И так далее. Поэтому вероятность его итоговой победы за 80 игр равна
поскольку 
Ответ:
б) 
вероятность его победы почти равна 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б)
вероятность его победы почти равна
Решите неравенство
Так ОДЗ неравенства определяется условием
С помощью метода интервалов получаем 
На промежутке 
левая часть неравенства неотрицательна, а правая отрицательна, поэтому оно выполняется.
Рассмотрим промежуток 
Тогда обе части неравенства неотрицательны, и их можно возвести в квадрат:
Так как рассматриваются значения x, большие 2, то знаменатель дроби отрицателен - можно умножить на него обе части неравенства и поменять знак. Кроме того, модуль можно опустить. Получаем
Одним из корней многочлена в левой части является 
Выделяем множитель 
и тогда неравенство принимает вид
откуда 
Значит, в этом случае 
и окончательно 
Ответ: 
За каждый из случаев 
— по 3 балла.
Неэквивалентные преобразование — 0 баллов за задачу или рассматриваемый случай.
Ответ отличается от верного конечным числом точек — снять 1 балл.
Решите неравенство
Так ОДЗ неравенства определяется условием
С помощью метода интервалов получаем 
На промежутке 
левая часть неравенства неотрицательна, а правая отрицательна, поэтому оно выполняется.
Рассмотрим промежуток 
Тогда обе части неравенства неотрицательны, и их можно возвести в квадрат:
Так как рассматриваются значения x, большие 3, то знаменатель дроби положителен — можно умножить на него обе части неравенства. Кроме того, модуль можно опустить. Получаем
Одним из корней многочлена в левой части является 
Выделяем множитель 
и тогда неравенство принимает вид
откуда 
Значит, в этом случае 
и окончательно 
Ответ: 
За каждый из случаев 
и — по 3 балла.
Неэквивалентные преобразование — 0 баллов за задачу или рассматриваемый случай.
Ответ отличается от верного конечным числом точек — снять 1 балл.
Найдите все решения уравнения: 
1) Пусть 
тогда 
получаем 
2) Пусть 
тогда 
получаем 
но так как то 
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Найдите все решения уравнения: 
1) Пусть 
тогда 
получаем 
2) Пусть тогда 
получаем 
но так как то
Ответ: 
| Критерии оценивания | Баллы |
|---|---|
| Полное обоснованное решение | 7 |
| Обоснованное решение с несущественными недочетами | 6 |
| Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений | 5−6 |
| Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев | 4 |
| Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи | 2−3 |
| Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные) случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении | 1 |
| Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев перечисленных выше | 0 |
Решите уравнение
Заметим, что при любых x выполняется неравенство
откуда следует, что левая часть уравнения не превосходит 16. В то же время, правая часть уравнения не меньше 16. Следовательно, равенство может достигаться только при одновременном выполнении условий 
и 
Из второго уравнения получаем 
Подстановкой в первое уравнение* убеждаемся, что подходит 
Ответ: 
*Для этого рассматриваем 6 возможных случаев: 
и т. д. Каждое из этих значений x подставляем в первое уравнение, период 
при этом можно отбросить.
Доказано, что минимум одной из частей уравнения равен максимуму другой — 1 балл.
Верно разобран только один из случаев знака выражения в скобках — 1 балл.
Решите систему уравнений
Данная система равносильна следующей:
Разделив почленно второе уравнение последней системы на первое, получаем 
откуда 
Подставляем это в первое уравнение:
Подбором находим целочисленный корень этого уравнения — Выделив множитель 
получаем
Значит, уравнение имеет единственный корень Тогда 
и пара чисел (2; 1) является единственным решением системы.
Ответ: (2; 1).
Получено линейное соотношение между переменными 
—
Решено кубическое уравнение — 2 балла.
Получено решение системы — 1 балл.
Сколько существует несократимых дробей со знаменателем 218, удовлетворяющих неравенству 
?
Преобразуем неравенство:
Первый множитель всегда положителен. Поэтому неравенство сводится к 
отсюда 
Найдем число несократимых дробей со знаменателем 218, удовлетворяющих неравенству. Рассмотрим положительные m:
Так как 
то 
поэтому m может принимать значения от 1 до 377 включительно. Исключим те значения, при которых дробь сокращается. Так как 
то исключаем все четные числа: 
и нечетные, кратные 109: 
Тогда получаем 
положительных дробей. Для отрицательных m решение аналогично. Итого 187 положительных и 187 отрицательных дробей.
Ответ: 187 положительных и 187 отрицательных дробей. Всего 374.
Сколько целых решений имеет неравенство
Так как множители свободного члена 1 и −1 не являются корнями соответствующего уравнения, то выделить множитель первой степени с рациональными коэффициентами мы не сможем. Попробуем выделить множитель второй степени методом неопределенных коэффициентов. Положим
Попытка взять свободный член с плюсом в первом множителе не привела бы к результатам. Перемножив многочлены в первой части, получим:
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему уравнений:
Получаем 
Подставляем в остальные уравнения:
Сложим первое и третье уравнения: 
или 
С учетом того, что 
находим
Итак, имеем два уравнения: 
и 
Первое из них сразу дает 
Для решения второго преобразуем его в биквадратное с помощью подстановки 
Получим: 
Отсюда найдем
и 
Найдем целые решения неравенства. Оценим корни:
1) при 
получаем 
или 
2) при
получаем 
или 
3) при
получаем 
или 
Значит,
Нанеся корни уравнения на координатную ось и определив промежутки Знакопостоянства, получим решение неравенства в виде:
Выпишем целые числа, попадающие в эти промежутки: −3, 0, 2, 3, 4.
Ответ: 5.
Решите систему уравнений
Данная система равносильна следующей:
Разделив почленно второе уравнение последней системы на первое, получаем 
откуда 
Подставляем это в первое уравнение:
Подбором находим целочисленный корень этого уравнение равен 
Выделив множитель 
получаем
Значит, уравнение имеет единственный корень Тогда 
и пара чисел (−4; −1) является единственным решением системы.
Ответ: 
Получено линейное соотношение между переменными 
— 3 балла.
Решено кубическое уравнение — 2 балла.
Получено решение системы — 1 балл.
Решите неравенство
Так ОДЗ данного неравенства — это множество 
Рассмотрим два случая.
а) При 
неравенство выполнено (получаем 0 = 0).
б) При 
делим обе части неравенства на положительное число 
и получаем 
тогда
С учётом условия, получаем 
Объединяя результаты, находим 
Ответ:
Неэквивалентное преобразование неравенства — 0 баллов за задачу.
Не учтено ОДЗ — не более 2 баллов за задачу.
Потеряна изолированная точка — (−1) балл.
Решите неравенство 
В ответ запишите сумму всех его целочисленных решений.
Перепишем неравенство в виде
Найдём область допустимых значений переменной x:
откуда 
Нас интересуют целые значения из этого отрезка, удовлетворяющие неравенству. Заметим, что левая часть полученного неравенства возрастает, а правая строго убывает. Они совпадают при 
При 
левая часть меньше правой, при 
левая часть больше правой. Вычисляем сумму:
Ответ: {525}.
Решите неравенство:
В ответ запишите сумму всех его целочисленных решений.
Наверх