Всего: 189 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–140 …
Добавить в вариант
При каких натуральных n существуют положительные числа x1, x2, ..., xn, удовлетворяющие системе уравнений
Укажите эти числа.
Основная идея 
следовательно, сложив два равенства, получим 
Далее нужно отдельно рассмотреть случаи 
и 
(при 
очевидно решений нет).
Ответ: 
или 
или Решите уравнение
Представим уравнение в виде
Обе скобки неотрицательны, равенство суммы нулю возможно только при одновременном равенстве нулю выражений в обеих скобках, отсюда
Решения первого уравнения 
При 
система несовместна, при 
второе уравнение дает 
Ответ: 
Решите уравнение:
Сделаем замену 
тогда
и уравнение примет вид: 
Корни 
и 
учтём, что 
тогда получим:
Слева две монотонно возрастающие функции, следовательно, уравнение имеет не более одного корня, подбором находим, 
Ответ: 64.
Известно, что для любого натурального числа n выполняется равенство
Используя его, решить уравнение
Согласно данному равенству
Тогда уравнение примет вид
В левой части уравнения выделим сумму n членов арифметической прогрессии с первым членом 
и разностью 
Тогда
Подставляя в уравнение, получим
Так как искомое значение n — натуральное число, то решением уравнения является 
Ответ:
Известно, что для любого натурального числа n выполняется равенство
Используя его, решить уравнение
Согласно данному равенству
Тогда уравнение
примет вид
то есть
Знаменатель в левой части равенства представляет собой сумму n первых членов арифметической прогрессии с первым членом 
и разностью 
Тогда
Подставляя в уравнение, получим
Определяем, что 
является одним из корней уравнения, то есть
Так как искомое значение 
Ответ: 
Найдите все решения неравенства:
Область определена входящих в неравенство функций: 
При этих значениях x, во-первых, модули раскрываются однозначно, во-вторых, входящие в неравенство косинусы — монотонно возрастающие функции, так как их аргументы находятся в интервале 
Кроме того, 
монотонно убывает. Поэтому исходное неравенство на области определения равносильно:
Ответ: 
Верное решение и верный ответ — 15 баллов.
Идейно верное решение, но ответ отличается от правильного на одну точку — 10 баллов.
Решите уравнение
В ответ запишите сумму корней уравнения.
Если модули раскрываются с одинаковыми знаками, т. е. при
или 
левая часть постоянна и равна 2. Максимальные значения будут приниматься на отрезке 
Минимальное значение функции, стоящей в правой части, достигается в вершине параболы, в точке 
Раскроем модули при 
получаем
Ответ: −1,5.
Решите неравенство:
Преобразуем правую и левую части неравенства:
Отметим, что ОДЗ неравенства есть все действительные числа. Переписав левую часть неравенства в виде
замечаем, что она не меньше 4, как удвоенная сумма двух взаимно обратных положительных величин, и только при
она равна 4.
В то же время правая часть неравенства
Следовательно, неравенство равносильно системе уравнений:
Ответ: {−0,5}.
| Баллы | Критерии выставления |
|---|---|
| 20 | Обоснованно получен правильный ответ. |
| 15 | При обоснованном решении ответ отличается от правильного из-за арифметической ошибки. |
| 10 | Верно выполнены оценки обеих частей неравенства и/или задача сведена к равносильной системе уравнений. |
| 5 | Верно выполнена оценка одной части неравенства. |
| 0 | Решение не соответствует ни одному из вышеперечисленных условий. |
Решите неравенство:
Докажем, что для любых положительных чисел a и b справедливо неравенство:
Раскрыв скобки, получаем: 
учитывая, что числа положительные
Поскольку на ОДЗ уравнения имеем 
и 
применяя доказанное неравенство получаем, что для любого x левая часть неравенства не меньше 4. В то же время правая часть неравенства
Следовательно, неравенство равносильно системе уравнений:
Из второго уравнения находим, что 
подставляем в первое уравнение системы, получаем, что 
его решение, следовательно, решение исходного неравенства.
Ответ: 
| Баллы | Критерии выставления |
|---|---|
| 15 | Обоснованно получен правильный ответ. |
| 12 | При обоснованном решении ответ отличается от правильного из-за арифметической ошибки. |
| 10 | Верно выполнены оценки обеих частей неравенства и/или задача сведена к равносильной системе уравнений. |
| 5 | Верно выполнена оценка одной части неравенства. |
| 0 | Решение не соответствует ни одному из вышеперечисленных условий. |
Решите неравенство:
Докажем, что для любых положительных чисел a и b справедливо неравенство:
Раскрыв скобки, получаем: 
учитывая, что числа положительные
Поскольку на ОД3 уравнения имеем 
и 
применяя доказанное неравенство получаем, что для любого x левая часть неравенства не меньше 4.
В то же время правая часть неравенства
Следовательно, неравенство равносильно системе уравнений:
Из второго уравнения находим, что 
подставляем в первое уравнение системы, получаем, что 
его решение, следовательно, решение исходного неравенства.
Ответ: {−1}.
| Баллы | Критерии выставления |
|---|---|
| 15 | Обоснованно получен правильный ответ. |
| 12 | При обоснованном решении ответ отличается от правильного из-за арифметической ошибки. |
| 10 | Верно выполнены оценки обеих частей неравенства и/или задача сведена к равносильной системе уравнений. |
| 5 | Верно выполнена оценка одной части неравенства. |
| 0 | Решение не соответствует ни одному из вышеперечисленных условий. |
Решите неравенство:
Заметим, что ОДЗ неравенства есть все действительные числа. Переписав левую часть неравенства в виде
видим, что она не меньше 4, как удвоенная сумма двух взаимно обратных положительных величин, и только при 
она равна 4. В то же время правая часть неравенства
Следовательно, неравенство равносильно системе уравнений:
Ответ: {−0,5}.
| Баллы | Критерии выставления |
|---|---|
| 15 | Обоснованно получен правильный ответ. |
| 12 | При обоснованном решении ответ отличается от правильного из-за арифметической ошибки. |
| 10 | Верно выполнены оценки обеих частей неравенства и/или задача сведена к равносильной системе уравнений. |
| 5 | Верно выполнена оценка одной части неравенства. |
| 0 | Решение не соответствует ни одному из вышеперечисленных условий. |
Решите неравенство:
Находим ОДЗ исходного неравенства:
Рассмотрим функцию
на промежутке 
Имеем 
тогда
для 
Пусть x принадлежит промежутку
и
для 
Из (1) и (2) следует, что если 
то 
Из (1) и (2) следует
Из (3) и (4), учитывая ОД3, следует, что решение исходного неравенства определяется следующим образом:
Из (4) следует, что решением системы из совокупности (5), является 
Из (3) следует, что решением совокупности (5) является промежуток 
Ответ:
| Содержание критерия | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 10 |
| Получен верный ответ, но решение недостаточно обосновано ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения. | 8 |
| С помощью верных рассуждений установлено, что числитель дроби неотрицательный, но отсутствует обоснованное завершение решения исходного неравенства. | 5 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 10 |
Решите неравенство
Преобразуем исходное выражение:
Поскольку 
то
для любых значений x и y, то
и неравенство
справедливо только для тех x и y, для которых
Ответ: 
Решить систему уравнений
Запишем ОДЗ: 
то есть 
Тогда
Решим систему по частям.
1) При 
получаем:
Не входит в ОДЗ.
2) При 
получаем:
Следовательно, (2; −6).
3) При 
получаем:
Графики функций 
и 
не пересекаются, то есть решений нет.
Таким образом, cистема уравнений имеет одно решение (2; −6).
Ответ: (2; −6).
Решить неравенство 
Запишем ОДЗ: 
Преобразуем неравенство к виду:
откуда
Но по соотношению для среднего арифметического и среднего геометрического
следовательно, единственным решением неравенства является
Ответ: {1}.
Верный ответ получен, но обоснование не приведено или имеет грубые ошибки — 1−3 балла.
Решение приведено, но имеет пробелы, неточности или арифметические ошибки — 4−8 баллов.
Приведено полное логически обоснованное решение и получен верный ответ — 9−10 баллов.
Решить неравенство 
для 
Преобразуем неравенство к виду:
откуда
Но по соотношению для среднего арифметического и среднего геометрического
следовательно, единственным решением неравенства является
Ответ: {1}.
Верный ответ получен, но обоснование не приведено или имеет грубые ошибки — 1−3 балла.
Решение приведено, но имеет пробелы, неточности или арифметические ошибки — 4−8 баллов.
Приведено полное логически обоснованное решение и получен верный ответ — 9−10 баллов.
Решить уравнение 
Запишем ОДЗ: Преобразуем неравенство к виду:
откуда
Но по соотношению для среднего арифметического и среднего геометрического
следовательно, единственным решением неравенства является
Ответ: {1}.
Верный ответ получен, но обоснование не приведено или имеет грубые ошибки — 1−3 балла.
Решение приведено, но имеет пробелы, неточности или арифметические ошибки — 4−8 баллов.
Приведено полное логически обоснованное решение и получен верный ответ — 9−10 баллов.
Решить систему уравнений 
Рассмотрим вектор 
и вектор 
Тогда 
и 
Скалярное произведение векторов равно
где α угол между векторами 
и 
Скалярное произведение этих же векторов, выраженное через их координаты равно:
Тогда,
Полученное противоречие показывает, что система не имеет решений.
Ответ: cистема уравнений не имеет решений.
Решить систему уравнений
Рассмотрим вектор 
и вектор 
Тогда 
и 
Скалярное произведение векторов равно
где α — угол между векторами и
Скалярное произведение этих же векторов, выраженное через их координаты равно:
Тогда,
Полученное противоречие показывает, что система не имеет решений.
Ответ: cистема уравнений не имеет решений.
Решить уравнение 
Запишем ОДЗ: Преобразуем неравенство к виду:
откуда
Но по соотношению для среднего арифметического и среднего геометрического
следовательно, единственным решением неравенства является
Ответ: {1}.
Верный ответ получен, но обоснование не приведено или имеет грубые ошибки — 1−3 балла.
Решение приведено, но имеет пробелы, неточности или арифметические ошибки — 4−8 баллов.
Приведено полное логически обоснованное решение и получен верный ответ — 9−10 баллов.
Наверх