а)  Для на­ча­ла най­дем ОДЗ не­ра­вен­ства

Зна­чит ОДЗ не­ра­вен­ства это При по­лу­ча­ем

по­это­му не­ра­вен­ство верно. При функ­ция

воз­рас­та­ет и при этом Зна­чит, под­хо­дят все и не под­хо­дят

Ответ:

б)  Ясно, что нужно про­сто найти наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень этого урав­не­ния и взять a не мень­шие этого корня. Решая урав­не­ние, по­лу­чим где решим

От­сю­да сразу видно, что пер­вые корни опре­де­ле­ны толь­ко при а вто­рые  — толь­ко при Кроме того, оба корня с ми­ну­сом перед ра­ди­ка­лом сразу от­ри­ца­тель­ны и их можно не учи­ты­вать, по­сколь­ку по­лу­чим или

Далее, ясно, что при мень­ших k по­лу­чат­ся мень­шие зна­че­ния этих вы­ра­же­ний, по­это­му до­ста­точ­но взять наи­мень­шие k и срав­нить ре­зуль­та­ты между собой. Срав­ним

По­сколь­ку

наи­мень­ший ко­рень равен

Ответ:

в)  Пусть этот па­рал­ле­ле­пи­пед это ABCDA₁B₁C₁D₁, при­чем AB  =  AD  =  4, AA₁  =  2. Будем ис­кать рас­сто­я­ние между AC₁ и BD.

За­ме­тим сразу, что пря­мые AC₁ и BD пер­пен­ди­ку­ляр­ны по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах (про­ек­ция AC₁ на ABCD это AC, а диа­го­на­ли квад­ра­та пер­пен­ди­ку­ляр­ны). Пусть O  — се­ре­ди­на BD. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр из O на AC₁. Это и будет ис­ко­мое рас­сто­я­ние между пря­мы­ми. В самом деле, этот от­ре­зок будет пер­пен­ди­ку­ля­рен AC₁ по по­стро­е­нию, а его про­ек­ция будет ле­жать на диа­го­на­ли AC (по­сколь­ку он лежит в плос­ко­сти ACC₁A₁), по­это­му про­ек­ция (а зна­чит и он сам) будет пер­пен­ди­ку­ляр­на BD.

Итак, можно вы­чис­лять ответ

Ответ:

г)  Рас­смот­рим че­ты­рех­уголь­ник ABCD, Пусть, далее, По не­ра­вен­ству тре­уголь­ни­ка по­лу­чим и и от­ку­да Ясно, что любое такое x под­хо­дит  — оба тре­уголь­ни­ка ABC и ADC уда­ет­ся по­стро­ить и скле­ить по сто­ро­не AC. При­ме­ним тогда к каж­до­му из них фор­му­лу Ге­ро­на, по­лу­чим

Обо­зна­чим те­перь (по­сколь­ку функ­ция мо­но­тон­на при ). Тогда нам нужно будет найти наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции при Возь­мем ее про­из­вод­ную

По­это­му знак про­из­вод­ной сов­па­да­ет со зна­ком вы­ра­же­ния ко­то­рое оче­вид­но убы­ва­ет. Зна­чит, нужно найти его ко­рень и тогда на про­ме­жут­ке про­из­вод­ная будет по­ло­жи­тель­на (а функ­ция воз­рас­тать), а на про­ме­жут­ке про­из­вод­ная будет от­ри­ца­тель­на (а функ­ция убы­вать), по­это­му наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции будет при Решим урав­не­ние

Зна­чит нужно вы­брать и x  — ко­рень урав­не­ния и по­лу­чить пло­щадь

На самом деле че­ты­рех­уголь­ник наи­боль­шей пло­ща­ди с дан­ны­ми сто­ро­на­ми  — впи­сан­ный. В нашем слу­чае на его, роль, оче­вид­но, по­дой­дет рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция.

Ответ:   — пло­щадь тра­пе­ции.