Всего: 389 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
Найдите отношение AC : BC.
и 
Тогда
то есть 
Равнобедренный треугольник с углом 
при вершине вписан в равносторонний треугольник со стороной 2 так, что эта вершина совпадает с серединой стороны равностороннего треугольника.
а) Найдите выражение для площади 
этого треугольника.
б) Покажите, что
в) Докажите, что 
причем 
и 
По условию также 
то есть точки E, F лежат на окружности с центром в точке D. Такая окружность может пересекать стороны AB и BC один или два раза. Поэтому возможны два принципиально различных случая.
треугольники AED и CFD равны по трем сторонам, 
Рассмотрим точку 
симметричную E относительно H. Тогда треугольники EDH и 
равны по двум катетам, 
и прямые E1F и AC параллельны. 
тогда 
Далее, 
и 
и 
(в случае, когда 
получаем предыдущий случай, его ответ пришлось добавить, поэтому интервал полуоткрытый).
и 
удобно сделать замену 
откуда 
а) Сколько корней (в зависимости от a) имеет уравнение 
б) Пусть 
(
). Докажите неравенство
в) Пусть A, B, C — величины углов некоторого остроугольного треугольника. Докажите, что если
то этот треугольник — равнобедренный.
г) Пусть 
Решите уравнение 
и построив график функции 
получим ответ.
два, если 
и три корня, если 
нетрудно показать, что она неотрицательна при всех x, значит, 
Осталось перемножить неравенства 
(обе части которых по предположению неотрицательны). 
и 
Таким образом, 
и 
откуда 
то функция f монотонна на каждом из отрезков 
значит, на каждом из них она имеет не более одного корня. То, что 
а) Сколько корней (в зависимости от a) имеет уравнение
б) Пусть 
(
). Докажите неравенство
в) Пусть A, B, C — величины углов некоторого треугольника. Докажите, что если
то этот треугольник — равнобедренный.
г) Пусть 
Найдите все 
при которых функция g периодична.
или 
два, если 
и три корня, если 
В выпуклом четырёхугольнике ABCD проведена диагональ BD, и в каждый из полученных треугольников ABD и BCD вписана окружность. Прямая, проходящая через вершину B и центр одной из окружностей, пересекает сторону DA в точке M. При этом Аналогично, прямая, проходящая через вершину D и центр второй окружности, пересекает сторону BC в точке N. При этом 
а) Найдите отношение AB : CD.
б) Найдите длины сторон AB и CD, если дополнительно известно, что данные окружности
касаются друг друга.
Используя равенство отрезков касательной, проведённых к окружности из одной точки, получаем соотношения 
откуда 
и 
В треугольнике ABC сторона BC равна 4, а угол ACB равен 
Окружность Г радиуса 
касается сторон BC и AC треугольника ABC в точках K и L соответственно и пересекает сторону AB в точках M и N (M лежит между A и N) так, что отрезок MK параллелен AC. Найдите длины отрезков CL, MK, AB и площадь треугольника CMN.
Рассмотрим треугольник MKB. По теореме косинусов 
откуда 
Отсюда следует, что 
Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что AB = AC, BT = 70, AT = 37.
тогда по условию 
Треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC, поэтому 
Тогда получаем 
Окружность 
радиуса 
касается сторон BC и AC треугольника ABC в точках K и L соответственно и пересекает сторону AB в точках M и N (M лежит между A и N) так, что отрезок MK параллелен AC, 
Найдите угол ACB, длины отрезков MK, AB и площадь треугольника CMN.
через 
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому 
Так как угол 
лежит напротив меньшей стороны треугольника, то он острый. Из треугольника ACH получаем, что 
откуда 
отсюда 
Отсюда следует, что 
Окружность 
радиуса касается сторон BC и AC треугольника ABC в точках K и L соответственно и пересекает сторону AB в точках M и N (M лежит между A и N) так, что отрезок MK параллелен AC, 
Найдите угол ACB, длины отрезков MK, AB и площадь треугольника BKN.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому 
Рассмотрим треугольник MKB. По теореме косинусов 
Тогда площадь треугольника BKN равна 
Отсюда следует, что 
Дан параллелограмм ABCD. Окружность с радиусом 5 описана вокруг треугольника AMB, где M — точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. вторично пересекает луч CB и отрезок AD в точках E и K соответственно. Длина дуги AE в два раза больше длины дуги BM (дуги AE и BM не имеют общих точек). Длина отрезка MK равна 6. Найдите длины отрезков AD, BK и периметр треугольника EBM.
и 
соответственно. Тогда по теореме о вписанном угле 
Следовательно, ABCD — ромб. У ромба диагонали взаимно перпендикулярны, значит, угол AMB прямой и AB — диаметр окружности. Значит, 
(как стороны ромба). Хорды 
и 
равны (т. к. равны соответствующие им дуги), 
Тогда 
и
Продолжение высоты BH треугольника ABC пересекает описанную около него окружность в точке D (точки B и D лежат по разные стороны от прямой AC). Градусные меры дуг AD и CD, не содержащих точки B, равны 60° и 90° соответственно. Определите, в каком отношении отрезок BD делится стороной AC.
Тогда треугольник BHC — прямоугольный и равнобедренный, 
Ho 
В треугольнике ABC проведена медиана BM; MD и ME — биссектрисы треугольников AMB и CMB соответственно. Отрезки BM и DE пересекаются в точке P, причём 
а) Найдите отрезок DE.
б) Пусть дополнительно известно, что около четырёхугольника ADEC можно описать окружность. Найдите её радиус.
то отсюда следует, что 
поэтому AC параллельна DE. Но тогда 
равнобедренный и 
Аналогично получаем, что 
и тогда 
б) 
Продолжение высоты BH треугольника ABC пересекает описанную около него окружность в точке D (точки B и D лежат по разные стороны от прямой AC). Градусные меры дуг AD и CD, не содержащих точки B, равны 120° и 90° соответственно. Определите, в каком отношении отрезок BD делится стороной AC.
Тогда треугольник BHC — прямоугольный и равнобедренный, 
В треугольнике ABC проведена медиана BM; MD и ME – биссектрисы треугольников AMB и CMB соответственно. Отрезки BM и DE пересекаются в точке P, причём 
а) Найдите отрезок DE.
б) Пусть дополнительно известно, что около четырёхугольника ADEC можно описать окружность. Найдите её радиус.
Аналогично получаем, что 
и тогда 
б) 
Лучи AB и DC пересекаются в точке P, а лучи BC и AD пересекаются в точке Q. Известно, что треугольники ADP и QAB подобны (вершины не обязательно указаны в соответствующем порядке), а четырёхугольник ABCD можно вписать в окружность радиуса 7.
а) Найдите AC.
б) Пусть дополнительно известно, что окружности, вписанные в треугольники ABC и ACD касаются отрезка AC в точках K и T соответственно, причём 
(точка T лежит между K и A). Найдите угол DAC и площадь
и 
либо 
и 
Второй случай невозможен, так как 
—
т. е. 
Тогда остаётся первый случай и 
Но четырёхугольник ABCD вписан в окружность, а значит, 
По свойству отрезков касательных к окружности 
то 
Плошать треугольника ACD 
и 
пусть 
По теореме Пифагора для треугольника ABC получаем 
и 
и площадь треугольника ABC равна 
Значит, площадь четырёхугольника ABCD равна 
Лучи AB и DC пересекаются в точке P, а лучи BC и AD пересекаются в точке Q. Известно, что треугольники ADP и QAB подобны (вершины не обязательно указаны в соответствующем порядке), а четырёхугольник ABCD можно вписать в окружность радиуса 4.
а) Найдите AC.
б) Пусть дополнительно известно, что окружности, вписанные в треугольники ABC и ACD касаются отрезка AC в точках K и T соответственно, причём 
(точка T лежит между K и A). Найдите угол DAC и площадь четырёхугольника ABCD.
либо 
и 
пусть 
и 
и площадь треугольника ABC равна 
Значит, площадь четырёхугольника ABCD равна 
б) 
или 
Hо по условию 
С другой стороны имеем, что 
или 
Тогда 
Найдите высоту трапеции, если длина 
где Q — середина большего основания.
(по условию). Пусть точка О — точка пересечения диагоналей, точка H — основание перпендикуляра, опущенного из K на основание ML, тогда KH — искомая высота. 
— внешний угол в равнобедренном треугольнике 
тогда искомая высота 
В треугольнике ABC угол при вершине A в два раза больше угла при вершине C. Через вершину B проведена касательная l к окружности 
описанной около треугольника ABC. Расстояния от точек A и C до этой касательной равны соответственно 4 и 9.
а) Найдите расстояние от точки A до прямой BC.
б) Найдите радиус окружности и длину стороны AB.
тогда 
По обобщённой теореме синусов находим, что 
и 
Отметим, что 
(иначе сумма углов треугольника больше 180°).
равен 
а угол между касательной и BC 
от точки A до касательной равно 
от точки C до касательной равно 
Torда 
и 
равно 
