Всего: 389 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–140 …
Добавить в вариант
и AD = BD. Найдите 
В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 35°, отрезки BB1 и CC1 — высоты, точки B2 и C2 — середины сторон AC и AB соответственно. Прямые B1C2 и C1B2 пересекаются в точке K. Найдите величину (в градусах) угла B1KB2.
(в противном случае он был бы тупоугольным), поэтому точка 
лежит на стороне AB между точками B и C2, а точка 
лежит на стороне AC между точками C и B2. Поэтому точка K пересечения прямых 
и 
лежит внутри треугольника. Поскольку 
треугольник 
равнобедренный. Следовательно, 
Аналогично получаем 
откуда 
В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 25°, отрезки BB1 и CC1 — высоты, точки B2 и C2 — середины сторон AC и AB соответственно. Прямые B1C2 и C1B2 пересекаются в точке K. Найдите величину (в градусах) угла B1KB2.
то 
Тогда, поскольку 
откуда 
Таким образом, треугольник ABC имеет стороны 8, 12 и 5. Отсюда по формуле Герон а площадь треугольника ABC равна 
На сторонах AC и BC треугольника ABC взяты соответственно точки D и E. Отрезки AE и BD пересекаются в точке F. Найдите площадь треугольника CDE, если площади треугольников ABF, ADF и BEF соответственно равны 1, 
Так как отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению длин оснований, то 
На сторонах AC и BC треугольника ABC взяты соответственно точки E и F. Отрезки BF и CE пересекаются в точке D. Найдите площадь треугольника AEF, если площади треугольников BCD, BDE и CDF соответственно равны 1, 
—
а 
(углы со взаимными перпендикулярными сторонами), видим, что треугольник ABK равен треугольнику OCK (по гипотенузе и острому углу), отсюда 
Значит, треугольник BKC — равнобедренный и 
На стороне BC треугольника ABC взята точка M такая, что 
Биссектриса BL данного треугольника и отрезок AM пересекаются в точке P под углом 90°.
а) Найдите отношение площади треугольника ABP к площади четырёхугольника LPMC.
б) На отрезке MC отмечена точка F такая, что 
Пусть дополнительно известно, что прямые LF и BC перпендикулярны. Найдите угол CBL.
тогда 
По свойству биссектрисы треугольника, 
и 
Пусть 
Тогда из треугольника BPM получаем, что 
а из треугольника BFL — что 
Приравнивая эти выражения для косинуса, находим, что 
откуда 
На стороне BC треугольника ABC взята точка M такая, что 
Биссектриса BL данного треугольника и отрезок AM пересекаются в точке P под углом 90°.
а) Найдите отношение площади треугольника ABP к площади четырёхугольника LPMC.
б) На отрезке MC отмечена точка T такая, что 
Пусть дополнительно известно, что прямые LT и BC перпендикулярны. Найдите угол CBL.
По свойству биссектрисы треугольника, 
Пусть 
получаем, что 
а из треугольника BFL — 
откуда 
и 
то 
поэтому 
Отметим на стороне AB такую точку D, что 
В силу симметрии, отрезки MC и ND пересекаются в некой точке P, причём 
Из симметрии также следует, что 
(т. к. 
из неравенства треугольника); 
откуда 
поскольку 
то 
или, что то же самое, 
невозможно. Противоречие.
Заметим, что 
поэтому 
Дан остроугольный треугольник ABC. На отрезке AC и на продолжении стороны BC за точку C выбираются такие переменные точки X и Y соответственно, что
Точка T — проекция точки B на прямую XY. Докажите, что все такие точки T лежат на одной прямой.
(С. Берлов)
и проведем через 
Пусть она пересекает сторону 
в точке X, а продолжение стороны 
в точке 
Если мы докажем, что 
то поскольку точка Y однозначно определяется точкой X, получится, что 
и, значит, соответствующая им точка T совпадает с точкой 
четырехугольник 
(если точка X лежит на отрезке CH) или четырехугольник 
(если точка X лежит на отрезке AH) является вписанным. Тогда 
Кроме того 
поскольку это углы между диагоналями прямоугольника и стороной 
Осталось заметить, что 
Пусть все углы треугольника ABC меньше 120° и 
Рассмотрим точку внутри треугольника, для которой
Пусть прямая BT пересекает сторону AC в точке E, а прямая CT пересекает сторону AB в точке F. Докажите, что прямые EF и BC пересекаются в некоторой точке M, причём MB : MC = TB : TC.
и треугольник TBC — равнобедренный (с основанием BC). Поэтому его биссектриса TD является также медианой и высотой. Значит, AD — медиана и высота треугольнкие ABC. т. е. 
—
По свойству биссектрисы, 
откуда 
Пусть все углы треугольника ABC меньше 120° и Рассмотрим точку внутри треугольника, для которой
Пусть прямая BT пересекает сторону AC в точке E, а прямая CT пересекает сторону AB в точке F. Докажите, что прямые EF и BC пересекаются в некоторой точке M, причём MB : MC = TB : TC.
Муха сидит в вершине A треугольной комнаты ABC
В какой-то момент она вылетает оттуда в произвольном прямом направлении, после чего каждый раз, долетая до стены, поворачивает на 60° и продолжает лететь по прямой (см. рисунок). Может ли оказаться, что через какое-то время муха пролетела больше 12 метров?
Тогда X пробегает некоторую дугу окружности, и пройденный путь достигает максимума, если 
На самом деле даже не обязательно доказывать, что это максимум: 
2.1 Пусть сад имеет форму правильного треугольника со стороной 1. Докажите, что Георгию Константиновичу хватит ежей суммарной длиной 
Развернуть
а поскольку медианы делят друг друг в На стороне AB треугольника ABC отмечена точка O. Окружность ω с центром в точке O пересекает отрезки AO и OB в точках K и L соответственно и касается сторон AC и BC в точках M и N соответственно. Докажите, что точка пересечения отрезков KN
и общую гипотенузу OC, поэтому они равны и, в частности, 
Таким образом, 
Поскольку в четырехугольнике QPNL противоположные углы PNL и PQL прямые, он является вписанным. Следовательно, 
Но угол PLN опирается на дугу MN, поэтому он равен половине этой дуги, т. е. половине угла MON. Таким образом, 
и прямая CQ перпендикулярна AB. Таким образом, точка Q совпадает с точкой H и P лежит на CH. А это и требовалось доказать.
Пусть отрезки KN и LM пересекаются в точке P, а Q — точка пересечения прямых CP и AB. Поскольку CM и CN — отрезки касательных от точки C до точек касания, 
и, значит, треугольник CMN равнобедренный. Тогда 
Это центральный угол, опирающийся на дугу 
значит, вписанный угол MKP равен его половине. Таким образом, 
Поскольку CN — касательная к окружности, 
из равнобедренности треугольника NCP. Таким образом, 
и, значит, четырехугольник PQLN вписанный. Но тогда