сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Пусть все углы тре­уголь­ни­ка ABC мень­ше 120° и AB не равно AC. Рас­смот­рим точку  внут­ри тре­уголь­ни­ка, для ко­то­рой

\angleBTC=\angleCTA=\angleATB=120 гра­ду­сов.

Пусть пря­мая BT пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AC в точке E, а пря­мая CT пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке F. До­ка­жи­те, что пря­мые EF и BC пе­ре­се­ка­ют­ся в не­ко­то­рой точке M, причём MB : MC  =  TB : TC.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

1)  До­пу­стим, что пря­мая EF па­рал­лель­на BC. Тогда по тео­ре­ме Фа­ле­са

 дробь: чис­ли­тель: A F, зна­ме­на­тель: F B конец дроби = дробь: чис­ли­тель: A E, зна­ме­на­тель: E C конец дроби .

Пусть D  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых AT и BC, тогда

\angle B T D=180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус 120 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =\angle C T D,

то есть TD  — бис­сек­три­са в тре­уголь­ни­ке TBC. Ана­ло­гич­но TE  — бис­сек­три­са в тре­уголь­ни­ке TCA, где TF  — бис­сек­три­са в тре­уголь­ни­ке TAB. Как из­вест­но, бис­сек­три­са делит сто­ро­ну тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­но двум дру­гим сто­ро­нам, от­ку­да

 дробь: чис­ли­тель: A F, зна­ме­на­тель: F B конец дроби = дробь: чис­ли­тель: T A, зна­ме­на­тель: T B конец дроби

и
 дробь: чис­ли­тель: A E, зна­ме­на­тель: E C конец дроби = дробь: чис­ли­тель: T A, зна­ме­на­тель: T C конец дроби .

Зна­чит, T B=T C, и тре­уголь­ник TBC  — рав­но­бед­рен­ный (с ос­но­ва­ни­ем BC). По­это­му его бис­сек­три­са TD яв­ля­ет­ся также ме­ди­а­ной и вы­со­той. Зна­чит, AD  — ме­ди­а­на и вы­со­та тре­угольн­кие ABC. т. е. A B=A C  — про­ти­во­ре­чие.

2)  По тео­ре­ме Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ABC и се­ку­щей EM,

 дробь: чис­ли­тель: M B, зна­ме­на­тель: M C конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: E C, зна­ме­на­тель: E A конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: F A, зна­ме­на­тель: F B конец дроби =1.

По тео­ре­ме Чевы,

 дробь: чис­ли­тель: D B, зна­ме­на­тель: D C конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: E C, зна­ме­на­тель: E A конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: F A, зна­ме­на­тель: F B конец дроби =1.

Зна­чит,  дробь: чис­ли­тель: M B, зна­ме­на­тель: M C конец дроби = дробь: чис­ли­тель: D B, зна­ме­на­тель: D C конец дроби . По свой­ству бис­сек­три­сы,  дробь: чис­ли­тель: D B, зна­ме­на­тель: D C конец дроби = дробь: чис­ли­тель: T B, зна­ме­на­тель: T C конец дроби , от­ку­да  дробь: чис­ли­тель: M B, зна­ме­на­тель: M C конец дроби = дробь: чис­ли­тель: T B, зна­ме­на­тель: T C конец дроби .

 

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 1965.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Верна толь­ко одна из двух ча­стей ре­ше­ния  — 3 балла.