сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

На сто­ро­не AB тре­уголь­ни­ка ABC от­ме­че­на точка O. Окруж­ность ω с цен­тром в точке O пе­ре­се­ка­ет от­рез­ки AO и OB в точ­ках K и L со­от­вет­ствен­но и ка­са­ет­ся сто­рон AC и BC в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков KN и LM лежит на вы­со­те AH тре­уголь­ни­ка ABC.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть от­рез­ки KN и LM пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P, а Q  — ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из точки P на AB. Можно счи­тать, что точка Q лежит на от­рез­ке OK. Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки OCN и OCM имеют рав­ные ка­те­ты O M=O N и общую ги­по­те­ну­зу OC, по­это­му они равны и, в част­но­сти, \angle C O M=\angle C O N. Таким об­ра­зом,

\angle C O N= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle M O N.

За­ме­тим далее, что угол KNL опи­ра­ет­ся на диа­метр KL и, зна­чит, \angle K N L=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка . По­сколь­ку в че­ты­рех­уголь­ни­ке QPNL про­ти­во­по­лож­ные углы PNL и PQL пря­мые, он яв­ля­ет­ся впи­сан­ным. Сле­до­ва­тель­но, \angle P Q N=\angle P L N. Но угол PLN опи­ра­ет­ся на дугу MN, по­это­му он равен по­ло­ви­не этой дуги, т. е. по­ло­ви­не угла MON. Таким об­ра­зом,

\angle P Q N=\angle P L N= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle M O N=\angle C O N .

Из ра­вен­ства углов

 \angle O C N=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle C O N=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle P Q N=\angle O Q N

сле­ду­ет, что че­ты­рех­уголь­ник QONC впи­сан­ный. Тогда сумма его про­ти­во­по­лож­ных углов равна 180°:

 \angle C Q O плюс \angle O N C=180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

Стало быть, \angle C Q O=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка и пря­мая CQ пер­пен­ди­ку­ляр­на AB. Таким об­ра­зом, точка Q сов­па­да­ет с точ­кой H и P лежит на CH. А это и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние. По­ло­жим для крат­ко­сти \angle C=2 гамма . Пусть от­рез­ки KN и LM пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P, а Q  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых CP и AB. По­сколь­ку CM и CN  — от­рез­ки ка­са­тель­ных от точки C до точек ка­са­ния, C M=C N и, зна­чит, тре­уголь­ник CMN рав­но­бед­рен­ный. Тогда

\angle C M N=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус гамма .

Так как точки M и N  — точки ка­са­ния,

\angle C M O=\angle C N O=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка

и, зна­чит, \angle M O N=180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 гамма . Это цен­траль­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на дугу \widehatM N, зна­чит, впи­сан­ный угол MKP равен его по­ло­ви­не. Таким об­ра­зом,

\angle M K P=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус гамма =\angle C M N.

По­сколь­ку KL  — диа­метр окруж­но­сти, опи­ра­ю­щий­ся на него угол равен 90°, по­это­му

\angle P M K=\angle L M K=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

Сле­до­ва­тель­но,

\angle M P K=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle M K P= гамма

и

\angle M P N=180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус гамма .

Рас­смот­рим те­перь опи­сан­ную окруж­ность тре­уголь­ни­ка MPN и ее центр точку X. За­ме­тим, что

\angle M X N=\widehatM P N=180 минус \angle M P N= гамма =\angle M C N.

Кроме того, точки C и X лежат на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к от­рез­ку MN. Сле­до­ва­тель­но, они сов­па­да­ют, и C  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка MPN. Тогда C M=C N=C P. По­сколь­ку CN  — ка­са­тель­ная к окруж­но­сти,

\angle C N P= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \widehatK M N=\angle K L N.

С дру­гой сто­ро­ны, \angle C P N=\angle C N P из рав­но­бед­рен­но­сти тре­уголь­ни­ка NCP. Таким об­ра­зом, \angle C P N=\angle K L N и, зна­чит, че­ты­рех­уголь­ник PQLN впи­сан­ный. Но тогда

\angle P Q L=180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle L N P=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .