РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2106 Добавить в вариант

На стороне AB треугольника ABC отмечена точка O. Окружность ω с центром в точке O пересекает отрезки AO и OB в точках K и L соответственно и касается сторон AC и BC в точках M и N соответственно. Докажите, что точка пересечения отрезков KN и LM лежит на высоте AH треугольника ABC.

Спрятать решение

Решение.

Пусть отрезки KN и LM пересекаются в точке P, а Q  — основание перпендикуляра, опущенного из точки P на AB. Можно считать, что точка Q лежит на отрезке OK. Прямоугольные треугольники OCN и OCM имеют равные катеты $O M=O N$ и общую гипотенузу OC, поэтому они равны и, в частности, $\angle C O M=\angle C O N.$ Таким образом,

$\angle C O N= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle M O N.$

Заметим далее, что угол KNL опирается на диаметр KL и, значит, $\angle K N L=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ Поскольку в четырехугольнике QPNL противоположные углы PNL и PQL прямые, он является вписанным. Следовательно, $\angle P Q N=\angle P L N.$ Но угол PLN опирается на дугу MN, поэтому он равен половине этой дуги, т. е. половине угла MON. Таким образом,

$\angle P Q N=\angle P L N= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle M O N=\angle C O N .$

Из равенства углов

$\angle O C N=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle C O N=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle P Q N=\angle O Q N$

следует, что четырехугольник QONC вписанный. Тогда сумма его противоположных углов равна 180°:

$\angle C Q O плюс \angle O N C=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Стало быть, $\angle C Q O=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ и прямая CQ перпендикулярна AB. Таким образом, точка Q совпадает с точкой H и P лежит на CH. А это и требовалось доказать.

Приведем другое решение. Положим для краткости $\angle C=2 гамма .$ Пусть отрезки KN и LM пересекаются в точке P, а Q  — точка пересечения прямых CP и AB. Поскольку CM и CN  — отрезки касательных от точки C до точек касания, $C M=C N$ и, значит, треугольник CMN равнобедренный. Тогда

$\angle C M N=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус гамма .$

Так как точки M и N  — точки касания,

$\angle C M O=\angle C N O=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$

и, значит, $\angle M O N=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 2 гамма .$ Это центральный угол, опирающийся на дугу $\widehatM N,$ значит, вписанный угол MKP равен его половине. Таким образом,

$\angle M K P=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус гамма =\angle C M N.$

Поскольку KL  — диаметр окружности, опирающийся на него угол равен 90°, поэтому

$\angle P M K=\angle L M K=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Следовательно,

$\angle M P K=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle M K P= гамма$

$\angle M P N=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус гамма .$

Рассмотрим теперь описанную окружность треугольника MPN и ее центр точку X. Заметим, что

$\angle M X N=\widehatM P N=180 минус \angle M P N= гамма =\angle M C N.$

Кроме того, точки C и X лежат на серединном перпендикуляре к отрезку MN. Следовательно, они совпадают, и C  — центр описанной окружности треугольника MPN. Тогда $C M=C N=C P.$ Поскольку CN  — касательная к окружности,

$\angle C N P= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \widehatK M N=\angle K L N.$

С другой стороны, $\angle C P N=\angle C N P$ из равнобедренности треугольника NCP. Таким образом, $\angle C P N=\angle K L N$ и, значит, четырехугольник PQLN вписанный. Но тогда

$\angle P Q L=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle L N P=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Олимпиада СПБГУ, 8, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Треугольник произвольный, Методы геометрии. Вспомогательная окружность, Методы геометрии. Свойства хорд, касательных, секущих

Спрятать решение · Помощь