Всего: 389 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
В треугольнике ABC угол при вершине A в два раза больше угла при вершине C. Через вершину B проведена касательная l к окружности 
описанной около треугольника ABC. Расстояния от точек A и C до этой касательной относятся как 9 : 25.
а) Найдите отношение расстояний от точки A до прямых l и BC.
б) Найдите расстояние от точки С до прямой l и радиус окружности 
тогда 
По обобщённой теореме синусов находим, что 
(иначе сумма углов треугольника больше 180°).
от точки A до касательной равно 
от точки C до касательной равно 
Тогда 
и 
Расстояние от точки A до прямой 
равно 
Вокруг равнобедренного остроугольного треугольника NPQ с основанием NQ описана окружность 
Точка F — середина дуги PN, не содержащей точки Q. Известно, что расстояния от точки F до прямых PN и QN, равны соответственно 5 и 
Найдите радиус окружности 
и площадь треугольника NPQ.
FD — перпендикуляр, опущенный из точки F на прямую NQ, OJ — перпендикуляр, опущенный из точки O на прямую FD. Обозначим радиус окружности через R, угол NPH через 
Тогда 
то 
и по теореме о внешнем угле треугольника 
Значит, 
то есть 
тогда 
Вокруг равнобедренного остроугольного треугольника FKT с основанием KT описана окружность Точка M — середина дуги FT, не содержащей точки K. Известно, что расстояния от точки M до прямых KT и FT, равны соответственно 
и 1. Найдите радиус окружности и площадь треугольника FKT.
MQ — перпендикуляр, опущенный из точки M на прямую KT, OJ — перпендикуляр, опущенный из точки O на прямую MQ. Обозначим радиус окружности через R, угол TFH через 
то 
и по теореме о внешнем угле треугольника 
Значит, 
то есть 
тогда 
Вокруг равнобедренного остроугольного треугольника NPQ с основанием NQ описана окружность Расстояние от середины дуги PN, не содержащей точки Q, до стороны PN равно 4, а расстояние от середины дуги QN, не содержащей точки P, до стороны QN равно 0,4. Найдите радиус окружности и площадь треугольника NPQ.
и 
получаем, что 
или 
Подходит только 
Значит, 
Вокруг равнобедренного остроугольного треугольника ADE с основанием AD описана окружность Расстояние от середины дуги DE, не содержащей точки A, до стороны DE равно 5, а расстояние от середины дуги AD, не содержащей точки E, до стороны AD равно 
Найдите радиус окружности и площадь треугольника ADE.
или 
Подходит только 
Значит, 
Равнобедренный треугольник ABC с основанием BC вписан в окружность Хорды LM и PQ, параллельные прямой BC, пересекают сторону AB в точках D и T соответственно, и при этом 
Найдите радиус окружности и площадь треугольника ABC, если 
а центр O окружности расположен между прямыми LM и PQ.
Тогда 
Тогда 
Равнобедренный треугольник PQT с основанием PQ вписан в окружность Хорды AB и CD, параллельные прямой PQ, пересекают сторону QT в точках L и M соответственно, и при этом QL = LM = MT. Найдите радиус окружности и площадь треугольника PQT, если 
а центр O окружности расположен между прямыми AB и CD.
перпендикулярна хордам CD, AB, PQ и делит каждую из них пополам. Пусть точки N, H и E — середины CD, AB 
Тогда 
Тогда 
Окружность 
радиуса 6 с центром O вписана в остроугольный треугольник CFM и касается его сторон CM и FM в точках P и K соответственно. Окружность радиуса 
с центром T описана около треугольника PKM.
а) Найдите OM.
б) Пусть дополнительно известно, что отношение площади треугольника CFT к площади треугольника CFM равно 
Найдите длину биссектрисы MA треугольника CFM, а также его площадь.
через B, высоту треугольника, проведённую из вершины M, через MH. Пусть 
Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, поэтому 
Из треугольника POM находим, что 
Отсюда получаем 
из треугольника AOB получаем, что 
где 
—
получаем, что 
откуда 
тогда 
будем иметь: 
не может быть мнимым числом. Следовательно, должно быть 
то есть 
Тогда 
то есть 
и так как 
то есть треугольник равнобедренный, то имеем: 
то есть треугольник правильный. 
то есть при 
получим: 
и x не может быть рациональным числом. Положим теперь, что равны между собою какие-либо два из неизвестных x, y, z. Допустим, 
Тогда имеем 
Откуда: 
Решив это неравенство, найдем 
Но при 
не получается целых значений a, b, c. 
то 
и подстановка дает 
и 
Пусть 
Тогда 
и 
и 
и 
При больших значениях y будет уже 
что противоречит предположению. Вычислив стороны, получаем три треугольника, удовлетворяющих условию задачи: (6; 25; 29), (7; 15; 20), (9; 10; 17). Проверка показывает, что все они тупоугольные. Например, у первого треугольника косинус угла, лежащего против большей стороны, отрицательный: по теореме косинусов 
и 
и 
При больших значениях y получаем 
что противоречит предположению. Окружность радиуса 4 с центром O вписана в остроугольный треугольник EFQ и касается его сторон FQ и EQ в точках M и P соответственно. Окружность радиуса 
с центром T описана около треугольника PQM.
а) Найдите OQ.
б) Пусть дополнительно известно, что отношение площади треугольника FTE к площади треугольника EFQ равно
Найдите длину биссектрисы QA треугольника EFQ, а также его площадь.
Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, поэтому 
Из треугольника POQ находим, что 
Отсюда получаем 
из треугольника AOB получаем, что 
где 
—
получаем, что 
откуда 
тогда 
В треугольнике ABC медианы BD и CE пересекаются в точке M. Окружность, построенная на отрезке BM как на диаметре, проходит через вершину C и касается прямой DE. Известно, что CM = 4. Найдите высоту AH треугольника ABC, угол CBD и площадь треугольника ABC.
считая от вершины, 
а гипотенуза 
Следовательно, 
Отрезок DE — средняя линия треугольника ABC, поэтому DE параллельна BC и 
Из треугольника BMC находим, что 
Тогда площадь треугольника равна 
В треугольнике KLM медианы LD и ME пересекаются в точке G. Окружность, построенная на отрезке LG как на диаметре, проходит через вершину M и касается прямой DE. Известно, что GM = 6. Найдите высоту KT треугольника KLM, угол LGM и площадь треугольника KLM.
с окружностью через S, а радиус окружности через R. Поскольку медианы точкой пересечения делятся в отношении 
катет 
а гипотенуза 
Отрезок DE — средняя линия треугольника KLM, поэтому DE и LM — параллельны, 
Из треугольника GLM находим, что 
Тогда площадь треугольника равна 
На стороне BC треугольника ABC взята точка M такая, что MC : BM = 5 : 2. Биссектриса данного треугольника BL и отрезок AM пересекаются в точке P под углом 90°.
а) Найдите отношение площади треугольника ABP к площади четырёхугольника LPMC.
б) На отрезке MC отмечена точка F такая, что FC : MF = 4 : 1. Пусть дополнительно известно, что прямые LF и BC перпендикулярны. Найдите угол CBL.
отрезок BP является биссектрисой и высотой, поэтому треугольник 
тогда 
По свойству биссектрисы треугольника, 
и 
общая высота, проведённая из вершины A, то 
Пусть 
Тогда из треугольника 
получаем, что 
а из треугольника BFL — что 
Приравнивая эти выражения для косинуса, находим, что 
откуда 
В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 35°, отрезки BB1 и CC1 — высоты, точки B2 и C2 — середины сторон AC и AB соответственно. Прямые B1C2 и C1B2 пересекаются в точке K. Найдите величину (в градусах) угла B1KB2.
(в противном случае он был бы тупоугольным), поэтому точка 
лежит на стороне AB между точками B и 
а точка 
лежит на стороне AC между точками C и 
Поэтому точка K пересечения прямых 
и 
лежит внутри треугольника. Поскольку 
треугольник 
равнобедренный. Следовательно, 
Аналогично получаем 
откуда 
Тогда, поскольку 
откуда 
Таким образом, треугольник ABC имеет стороны 8, 12 и 5. Отсюда по формуле Герона площадь треугольника ABC равна 
В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 25°, отрезки BB1 и CC1 — высоты, точки B2 и C2 — середины сторон AC и AB соответственно. Прямые B1C2 и C1B2 пересекаются в точке K. Найдите величину (в градусах) угла C1KC2.
На стороне BC треугольника ABC взята точка M такая, что MC : BM = 7 : 2. Биссектриса BL данного треугольника и отрезок AM пересекаются в точке P под углом 90°.
а) Найдите отношение площади треугольника ABP к площади четырёхугольника LPMC.
б) На отрезке MC отмечена точка T такая, что TC : MT = 6 : 1. Пусть дополнительно известно, что прямые LT и BC перпендикулярны. Найдите угол CBL.
По свойству биссектрисы треугольника, 
Пусть 
а из треугольника 
откуда 
и AD = BD. Найдите 
равнобедренный, поэтому 
тогда 
