РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1509 Добавить в вариант

В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 35°, отрезки BB₁ и CC₁  — высоты, точки B₂ и C₂  — середины сторон AC и AB соответственно. Прямые B₁C₂ и C₁B₂ пересекаются в точке K. Найдите величину (в градусах) угла B₁KB₂.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что углы B и C треугольника ABC больше, чем $\angle A=35 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ (в противном случае он был бы тупоугольным), поэтому точка $C_1$ лежит на стороне AB между точками B и $C_2,$ а точка $B_1$ лежит на стороне AC между точками C и $B_2.$ Поэтому точка K пересечения прямых $B_1 C_2$ и $C_1 B_2$ лежит внутри треугольника. Поскольку $C_1 B_2$   — медиана прямоугольного треугольника $C C_1 A,$ треугольник $C_1 B_2 A$ равнобедренный. Следовательно, $\angle A B_1 C_2=35 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ Аналогично получаем $\angle A C_1 B_2=35 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ откуда

$\angle A B_2 C_1=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 2 умножить на 35 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =110 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Тогда

$\angle B_1 K B_2=\angle A B_2 K минус \angle A B_1 K=110 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 35 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =75 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Ответ: 75.

Аналоги к заданию № 1509: 1539 Все

Олимпиада школьников Ломоносов, 10, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2020 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Треугольник произвольный

Спрятать решение · Помощь