В треугольнике ABC медианы BD и CE пересекаются в точке M. Окружность, построенная на отрезке BM как на диаметре, проходит через вершину C и касается прямой DE. Известно, что CM = 4. Найдите высоту AH треугольника ABC, угол CBD и площадь треугольника ABC.
Обозначим центр окружности через O, точку касания прямой DE с окружностью через T, а радиус окружности через R. Поскольку медианы точкой пересечения делятся в отношении 
считая от вершины,
Заметим, что в прямоугольном треугольнике ODT катет 
а гипотенуза 
Следовательно, 
Отрезок DE — средняя линия треугольника ABC, поэтому DE параллельна BC и 
Из треугольника BMC находим, что
Высота AH исходного треугольника вдвое больше, чем CE (т. к. CE — средняя линия треугольника ABH). Значит, 
Тогда площадь треугольника равна
Ответ: 
