Окружность 
радиуса 4 с центром O вписана в остроугольный треугольник EFQ и касается его сторон FQ и EQ в точках M и P соответственно. Окружность 
радиуса 
с центром T описана около треугольника PQM.
а) Найдите OQ.
б) Пусть дополнительно известно, что отношение площади треугольника FTE к площади треугольника EFQ равно
Найдите длину биссектрисы QA треугольника EFQ, а также его площадь.
Решение. а) Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому углы ОМQ и ОРQ прямые, т. е. из точек M и P отрезок OQ виден под прямым углом. Следовательно, окружность, построенная на отрезке OQ как на диаметре, проходит также через точки M и P, значит, это окружность 
Отрезок OQ равен удвоенному радиусу этой окружности, т. е. 
б) Обозначим точку касания окружности со стороной EF через B, высоту треугольника, проведённую из вершины Q, через QH. Пусть 
Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, поэтому 
Из треугольника POQ находим, что
Поскольку у треугольников EFT и EFQ общее основание EF, то их площади относятся как высоты, проведённые к этому основанию, а отношение этих высот равно 
Отсюда получаем
Поскольку OB и QH — параллельны, и 
из треугольника AOB получаем, что
Из треугольника AQH находим, что 
Выразим площадь треугольника EFQ двумя способами. С одной стороны,
С другой стороны, 
где 
— радиус вписанной окружности, p — полупериметр треугольника. В силу того, что 
получаем, что
Получаем уравнение 
откуда 
тогда 
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:Решён пункт а) — 2 балла.
За каждый из вопросов пункта б) (биссектриса, площадь) — 3 балла.
