Дан остроугольный треугольник ABC. На отрезке AC и на продолжении стороны BC за точку C выбираются такие переменные точки X и Y соответственно, что
Точка T — проекция точки B на прямую XY. Докажите, что все такие точки T лежат на одной прямой.
(С. Берлов)
Пусть точка H — основание высоты, опущенной из точки B на сторону AC. Достроим прямоугольный треугольник AHB до прямоугольника AHBK. Покажем, что все точки T лежат на прямой KH.
Для этого возьмем на ней точку 
и проведем через прямую перпендикулярно 
Пусть она пересекает сторону 
в точке X, а продолжение стороны 
в точке 
Если мы докажем, что 
то поскольку точка Y однозначно определяется точкой X, получится, что 
и, значит, соответствующая им точка T совпадает с точкой и, в частности, лежит на прямой KH.
Так как 
четырехугольник 
(если точка X лежит на отрезке CH) или четырехугольник 
(если точка X лежит на отрезке AH) является вписанным. Тогда
и 
Кроме того 
поскольку это углы между диагоналями прямоугольника и стороной 
Осталось заметить, что
