На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены точки M и N соответственно, причем AM = AN. Отрезки CM и BN пересекаются в точке O, причем BO = CO. Докажите, что ABC равнобедренный.
Предположим, что это неверно, например, что
Отметим на стороне AB такую точку D, что 
В силу симметрии, отрезки MC и ND пересекаются в некой точке P, причём 
Из симметрии также следует, что 
Итак, 
(т. к. 
из неравенства треугольника); 
откуда 
поскольку 
то
иначе говоря, 
или, что то же самое, 
Однако угол BDN тупой (поскольку он больше угла BMN, а он, в свою очередь, является тупым как смежный с острым углом при основании равнобедренного треугольника AMN). Сторона треугольника BDN. лежащая напротив тупого угла, не может быть короче другой его стороны, то есть неравенство 
невозможно. Противоречие.