сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

На про­дол­же­нии сто­ро­ны AC тре­уголь­ни­ка ABC за точку A от­ме­че­на точка T такая, что \angle BAC = 2\angle BTC. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если из­вест­но, что AB =AC, BT=42, AT = 29.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть \angle B T A= альфа , тогда по усло­вию \angle B A C=2 альфа . Тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный с ос­но­ва­ни­ем BC, по­это­му

\angle A B C=\angle A C B= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 альфа пра­вая круг­лая скоб­ка =90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус альфа .

По сумме углов тре­уголь­ни­ка TBC по­лу­ча­ем, что

\angle T B C=180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle T C B минус \angle B T C=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

Кроме того,

\angle T B A=\angle T B C минус \angle A B C= альфа .

Из ра­вен­ства углов сле­ду­ет, что тре­уголь­ни­ки ABT и ABC рав­но­бед­рен­ные, A C=A B=A T. Тогда по­лу­ча­ем

C T=2 A T=58,  \quad B C= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: C T в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус B T в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =40,

 S_\triangle B T C= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на B C умно­жить на B T=840,

S_\triangle A B C= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби S_\triangle B C T=420 .

Ответ: 420.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

До­ка­за­но, что тре­уголь­ник BTC пря­мо­уголь­ный — 2 балла.


Аналоги к заданию № 1180: 1187 Все